[不等式] 安zp刚才在Q上发来的三元不等式

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2013-2-18 20:19

PS、不知是问？还是考？

不过挺简单，都没所谓了。

题目：设 $x$, $y$, $z>0$，求证
\[\sum \frac{yz(y+z)}{y(z+x)+z(x+y)}\geqslant \frac{x+y+z}2.\]

作倒代换 $x\to 1/x$, $y\to 1/y$, $z\to 1/z$，代入化简易知等价于
\[\sum \frac{x^2(y+z)}{2x+y+z}\geqslant \frac{xy+yz+zx}2,\]
由柯西不等式，有
\[\sum \frac{2x+y+z}{y+z}\sum \frac{x^2(y+z)}{2x+y+z}\geqslant(x+y+z)^2,\]
于是只要证
\[
2(x+y+z)^2\geqslant (xy+yz+zx)\left( 3+2\sum \frac x{y+z} \right),
\]
即
\[\frac{2(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}-6\geqslant 2\sum \frac x{y+z}-3,\]
容易 SOS 为
\[\frac{\sum (x-y)^2}{xy+yz+zx}\geqslant \sum \frac{(x-y)^2}{(y+z)(z+x)},\]
显然成立。

1# kuing
有90%的把握是问，我这话在熟悉kuing的人中99.9%的人都会同意，
尽管他研究不等式也多年了，也颇有成果和造诣。

2# yes94

话说我写完还给他发了链接的……

3# kuing
呵呵！还给链接啊

4# yes94

当然要给的啊，不然他以为我不鸟他……

4# yes94

其实我3#的意思是不知他看到你的回复会有何感想。。。
不过昨晚我给链接后他也没有反应

呵呵！我这评价也没有贬低他吧？
任何高手，必定有自己做不出来的题目的，对吧？谁敢说自己打遍天下无敌手？
像宋庆老师、杨学枝老师等等若干不等式高手，也有不会做的不等式，（他们命名为猜想），这就是事实的嘛！
况且我还评价他颇有造诣和成果，没说错吧？
哈哈！

7# yes94

嗯。

8# kuing
那就好，希望他看见了不要多心哈！

很有兴趣的是，yes94老师尊姓大名啊？膜拜已久哦！