[不等式] 又一个三角不等式

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2013-2-17 19:54

请教这个三角不等式如何证明，若有兴趣也可以将类似的三角不等式问题进行接龙，谢谢

弱于这个结果：http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-1020-1-1.html

2# kuing
这个结果我用嵌入不等式证过，但是如何直接证明这个不等式？

也行，易证
\[\frac{\cos A\cos B}{\cos C}=\frac{\tan C}{\tan A+\tan B},\]
然后略。

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2013-2-17 20:14

这样的补充也许更容易理解些，还有其他的证法吗？其实以前记得也遇到过很多类似的问题，能否接龙一下，哈哈
4# kuing

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2013-2-17 20:23

ccnu_chb_ycb 发表于 2013-2-17 20:23

第一个错了，事实上可以证明对任意 $\triangle ABC$ 有
\[\sum\frac{\sin^2A\cos^2B}{\sin^2C}\geqslant\frac34.\]

用正弦、余弦定理及柯西不等式，有
\[\sum\frac{\sin^2A\cos^2B}{\sin^2C}=\sum\frac{(c^2+a^2-b^2)^2}{4c^4}\geqslant\frac{\left(\sum a^2(c^2+a^2-b^2)\right)^2}{4\sum c^4a^4}
=\frac{\left(\sum a^4\right)^2}{4\sum c^4a^4}\geqslant\frac34.\]

第二和第三个都比较简单，展开 $\cos(B-C)$，除一下，利用三角恒等式 $\sum\cot A\cot B=1$，均易证。

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2013-2-17 21:16

9# ccnu_chb_ycb

oh，又变成这类问题，没记错的话，这个对 $k\leqslant0$ 及 $k\geqslant\log_23$ 成立

$\sum(a/(b+c))^k$ 及 $\sum(a/(a+b))^k$ 问题的分界线都和 $\log_23$ 有关，有点神奇。
上次其中一个的链接给你发过了（记得否？）
http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=250615
这次的也是差不多的一个链接
http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=251786
都是用了半凹半凸定理。

哈哈，这个必须记得的嘛，我再次好好的学习下这类问题