[不等式] 陈题征新解：已知$4x^2+5y^2=y$，求$x^2+y^2$的最大值。

陈题征新解， 三角代换就免了，数形结合也免了，消元法也免了。
不过，如果你愿意，以上这些方法也可以写出来的。
希望有使用 A-G不等式，柯西，甚至排序不等式的解答，等等。
已知$4x^2+5y^2=y$，求$x^2+y^2$的最大值。

1# yes94
我错了！
现在不加任何限制，此题该如何做？
回复量为0太不好了！

2# yes94
没新想法,你不是会了上面几种的啊,刻意改成别的,似乎也不好改,不过也没动力去改.

3# realnumber
这是某网站的某同学的帖子，我转发而已，他只要求不用三角代换。

其实你1楼说的消元法挺好的,正好强调注意2个变量x和y的取值范围.

5# realnumber
对，
转了一个简单的，却没得好几个人回复

没什么new idea，不知回什么好嘛……

我还是搞一个用纯粹不等式的解答吧，给这道题给一个结果：
   由均值不等式可知，$\dfrac52y^2+\dfrac1{10}\geqslant y$，故$\dfrac52y^2\geqslant y-\dfrac1{10}$，当且仅当$y=\dfrac15$取等号。于是，
$y=4x^2+5y^2=\dfrac52(x^2+y^2)+\dfrac32x^2+\dfrac52y^2\geqslant \dfrac52(x^2+y^2)+\dfrac52y^2\geqslant \dfrac52(x^2+y^2)+y-\dfrac1{10}$，
    所以，$\dfrac1{10}\geqslant \dfrac52(x^2+y^2)$，即：$x^2+y^2\leqslant \dfrac1{25}$，当且仅当$x=0$，$y=\dfrac15$取等号。
   于是$[x^2+y^2]_{\max}$=$\dfrac1{25}$。

8# yes94
再搞一种纯粹不等式的解答：
$0=4x^2+5y^2-y=\dfrac52(x^2+y^2)+\dfrac32x^2+\dfrac52y^2-y=\dfrac52(x^2+y^2)+\dfrac32x^2+\dfrac52(y-\dfrac15)^2-\dfrac1{10}\geqslant\dfrac52(x^2+y^2)-\dfrac1{10}$，
即$x^2+y^2\leqslant\dfrac1{25}$，当且仅当$\dfrac32x^2=0$，$y-\dfrac15=0$取等号。