[不等式] 设$a,b,c\in R_+且abc=1，求证:\sum\frac{1}{1+a+b}\le 1$

设$a,b,c\in R_+且abc=1，求证:\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\le 1$

http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=511270

2# kuing
那个鱼儿从此就消失了！
两种很好的换元方法，构造的局部不等式都非常赏心悦目！

3# yes94

可能到别的地方玩去了……又或者要忙自己的事，没空玩了

把那边的解法贴过来（by kuing）：
设$x，y，z$是正数，令 $a=\dfrac{x^2}{yz}$，$b=\dfrac{y^2}{zx}$, $c=\dfrac{z^2}{xy}$
则$\dfrac1{a+b+1}=\dfrac{xyz}{x^3+y^3+xyz}\leqslant\dfrac{xyz}{x^2y+xy^2+xyz}=\dfrac z{x+y+z}$
同理得，$\dfrac1{b+c+1}\leqslant\dfrac x{x+y+z}$， $\dfrac1{c+a+1}\leqslant\dfrac y{x+y+z}$
相加即得证。

(By 鱼儿)
令$a=x^3$，$b=y^3$，$c=z^3$，其中$x，y，z>0$，则$xyz=1$，
由排序不等式得
$\dfrac1{a+b+1}=\dfrac1{x^3+y^3+1}\leqslant\dfrac1{x^2y+xy^2+1}=\dfrac z{x+y+z}$，
同理可得 $\dfrac1{b+c+1}\leqslant\dfrac x{x+y+z}$，$\dfrac1{c+a+1}\leqslant\dfrac y{x+y+z}$，
上述三式叠加即得
$\dfrac1{a+b+1}+\dfrac1{b+c+1}+\dfrac1{c+a+1}\leqslant1$.

相关的，或者说是更强的还有这个 http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=396030
一个牛比的证明可参考pxchg的blog的这篇 http://pxchg1200.is-programmer.com/posts/37415.html

7# kuing
这种放缩成指数局部不等式好像看过多次了，只是极难想到啊！每看到一次除了赞叹也只有赞叹！
共同特点都是，放缩后相加后为 $1$！
$\dfrac{a}{a+2}=\dfrac{a}{a+2(abc)^{\frac{1}{3}}}\geqslant \dfrac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}+c^{\frac{2}{3}}}$
于是，$\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}\geqslant1$

类似的

9# yayaweha
不错！

8# yes94

最牛的地方是在第一步，后面那种齐次构造算是常规方法之一了，那些指数可以通过待定获得。

11# kuing
嗯，这个的确非常难想到：$\dfrac{2}{a+2}-\dfrac{b}{ab+b+1}-\dfrac{1}{a+b+1}=\dfrac{a(b-1)^2}{(a+2)(ab+b+1)(a+b+1)}\geqslant0$
这个还算看过：$\sum{\dfrac{b}{ab+b+1}}=1$