[不等式] 来自粉丝群的类似Schur

天书(1846******)  21:08:08
a,b,c>=0,a+b+c<=1,证a+b+c+9abc>=4(ab+bc+ca)

固定 $b$, $c$，记 $f(a)=a+b+c+9abc-4(ab+bc+ca)$，注意到这是关于 $a$ 的一次函数，所以只要证明 $a$ 取最大及最小时都成立即可。
由条件知 $a$ 取最大即 $a+b+c=1$，齐次化后亦即是 Schur 不等式，成立；
而 $a$ 取最小即取到 $0$，此时 $f(0)=b+c-4bc\geqslant (b+c)^2-4bc=(b-c)^2\geqslant0$，也成立。

在相同的条件下，还有更强式
\[\sqrt[3]{(a+b+c)^5}+9abc\geqslant 4(ab+bc+ca).\]

证：为方便书写，记 $p=a+b+c$, $q=ab+bc+ca$，则由 Schur 不等式 $9abc\geqslant4pq-p^3$ 可知只需证
\[p^{5/3}+4pq-p^3\geqslant 4q,\]即\[p^{5/3}-p^3\geqslant 4q(1-p),\]
由条件 $p\leqslant 1$ 及均值不等式 $p^2\geqslant 3q$ 可知只需证
\[p^{5/3}-p^3\geqslant \frac43p^2(1-p),\]
作差分解为
\[\frac13p^{5/3}(p^{1/3}-1)^2(p^{2/3}+2p^{1/3}+3)\geqslant 0,\]
显然成立。

猜测：5/3 是最佳指数。

待续，时间关系明天再玩……

介绍Schur不等式的
http://www.mathoe.com/dispbbs.asp?boardID=106&ID=35942

这次不打代码了，用附件（输入错误已修改）：
不晓的对不？

(31.69 KB)

2013-2-15 12:51

4# yes94

还是尽量建议用代码吧，顺便改一下输入错误。

由4楼可以看出，

(28.37 KB)

2013-2-15 13:12

在相同的条件下，还有更强式
\[\sqrt[3]{(a+b+c)^5}+9abc\geqslant 4(ab+bc+ca).\]

证：为方便书写，记 $p=a+b+c$, $q=ab+bc+ca$，则由 Schur 不等式 $9abc\geqslant4pq-p^3$ 可知只需证
\[p^{5/3}+4pq-p^3\geq ...
kuing 发表于 2013-2-15 01:10

(50.67 KB)

2013-2-15 13:26

7# yes94

不错，因为仅用了一次均值将两个元进行了调整，所以那种形式很强。
有一点点小可惜的是那种加强式没有了Schur不等式的原貌（这其实也是我直接往指数加强方面思考而没考虑添加其他项的原因，平时我是不太敢玩指数的，因为通常不易玩）

8# kuing
还是令$t=1$最好，
Schur也存在，式子也更美观。