[数论] 请教一个完全平方数的问题

把前2012个自然数，就是1到2012，按任意顺序排成一串，组成一个新数(例如：把前3个自然数按任意顺序排成一串，可以是123，132，231，213，312，321)，求证这个新数不是完全平方数。

先发个百度来得一个帖子,来自这里
能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。

例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,

324,361,400,441,484,…

     观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

一、平方数有以下性质：  
【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。  
【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；

（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；

     100，10000，1000000是完全平方数，

10，1000，100000等则不是完全平方数。

（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。

但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。

【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为   (2k+1)^2=4k(k+1)+1                    (2k)^2=4k^2

【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】

【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

【性质9】平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。

例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。

下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。

关于完全平方数的数字和有下面的性质：

【性质10】完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。

证明   因为一个整数被9除只能是

9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而 (9k)^2=9(9k^2)+0 (9k±1)^2=9(9k^2±2k)+1 (9k±2)^2=9(9k^2±4k)+4 (9k±3)^2=9(9k^2±6k)+9 (9k±4)^2=9(9k^2±8k+1)+7

除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：

【性质11】a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

【性质12】如果质数p能整除a，但p^2不能整除a，则a不是完全平方数。

证明   由题设可知，a有质因子p，但无因子p^2，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因子的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。

【性质13】在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即

【性质14】一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。

【性质15】完全平方数的约数个数是奇数个。约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。

【性质16】若质数p整除完全平方数a，则p^2|a。

【性质17】任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。

二、重要结论（不是完全平方数的特点）

1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；  

2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；

3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；

4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；

5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；

6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；

7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；

8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数

2# realnumber

性质10?

3# kuing
有可能,=我把各位数字加起来

刚才也问了一位网友，他给了很简单的证明，已经懂了，呵呵。
记此数为$S$，各位数字之和为$M$，则$3 \mid M$，$9 \nmid M$，所以$3 \mid S$，$9 \nmid S$，即$S$中只有奇数个因子3，所以不是完全平方数。

4# realnumber

他那里显然是写错了的, 不过证法也给出了正确的结论。

5# abababa

不错, 我也懂了。

4# realnumber
个位数$1+2+\cdots+9\equiv0\mod9$,只余下2011,1012,两个的个位数和为3
十位数,只余下2010,2011,2012,三个的十位数和为3
百位数,没有余下,正好出现几边"1+2+\cdots+9"
千位数,1000~1999,1千个1,2000~2012,13个2
所以各位数和($\mod9$),$3+3+1000+26\equiv6$,按性质10的证明,所以不是完全平方数.这样应该也可以.

8# realnumber
呵呵，这样就麻烦了，他又给我说了一下，各位数字和能被3整除，等价于$1+2+...+2012$能被3整除，这么就简单了。

9# abababa
恩,这样好,

10# realnumber
也各有用处,万一这个不行的话,试另外一个.当然简单办法排在前面.

提问:1,2,3,4,5,6,7,8,9任意排列成一个9位数.能否组成一个完全平方数?---先这个开始吧,解决后,看看能否用更"刁"的条件.

12# realnumber
呵呵，我不会，又问了网友，原来竟然有很多啊，存在又不唯一，感觉方法好像不好弄
他给了两个例子$11826^2=139854276$，$12363^2=152843769$

13# abababa


我也不会,本来希望不是,;不过你朋友好牛,要不请他提些,后续的问题?

14# realnumber
到是提了一个，不过他自己也没解决
将1到n这n个自然数任意排成一列组成一个新数，n为何值时这些排列中至少有一个完全平方数，是不是存在简单的函数表达式

知道答案就简单了，
原来就是历史上的“弃九法”

16# yes94

第一次听……