[不等式] [转]第三届全国数学奥林匹克命题比赛获奖不等式题

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1.（一等奖，河南武爱民）已知$a,b,c>0$，且$ \frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}=\frac{1}{3} $，求证\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>1\]

2.（二等奖，黑龙江张利民）已知$a\in (0,\pi ),x,y\in [0,\pi]$，且$x+y=a$，试确定$ f(x,y) = x\sin y+y\sin x $的最大值、最小值.

3.（二等奖，广东杨志明）已知\(a,b,c\in\left({0,\sqrt 2 }\right) \)，且满足$ a^2+b^2+c^2+abc = 4 $，证明\[\sum \frac{a^2}{b+c}\ge \frac{1}{4}(1+2abc)+\frac{1}{4}\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\]

4.（二等奖，安徽邹守文）设$a,b,c>0$，证明\[ \left({a^{2012}+a^{2010}+3}\right)\left({b^{2012}+b^{2010}+3}\right)\left({c^{2012}+c^{2010}+3}\right)\ge 3(a+b+c)^2 \]

5.（二等奖，甘肃庞耀辉）设\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)是\(1,2,\cdots,n\)的一个排列,证明\[ \sum\limits_{i = 1}^{n-2}{\frac{1}{{a_k^3+a_{k+1}^3+a_{k+2}^3 }}}\ge\frac{{4(n-2)}}{{3n^2 (n+1)^2 }} \]

6.（二等奖，四川蒋明斌）求使不等式\[ 1\le\frac{a}{{\sqrt{a^2+\lambda bc}}}+\frac{b}{{\sqrt{b^2+\lambda ca}}}+\frac{c}{{\sqrt{c^2+\lambda ab}}}\le 2 \]对任意正实数$a,b,c$都成立的正常数$ \lambda $的取值范围，并分别求出等号的成立条件.

7.（二等奖，陕西樊益武）设$a,b,c>0$,且$a+b+c=1$,证明\[ \frac{a}{{\sqrt{b^2+c}}}+\frac{b}{{\sqrt{c^2+a}}}+\frac{c}{{\sqrt{a^2+b}}}\ge\frac{3}{2} \]

8.（三等奖，湖北甘超一）已知\(x,y \in R\)，证明 \[ \left({\frac{x}{{x+1}}}\right)^2+\left({\frac{y}{{y+1}}}\right)^2+\left({\frac{1}{{1-xy}}}\right)^2\ge 1 \]

9.（三等奖，陕西刘康宁，陈孝庚）设\(a,b,c,x,y,z\)是实数，且满足\(A=ax+by+cz,B=ay+bz+ca,C=az+bx+cy\)，设\(\left| {A - B} \right| \ge 1,\left| {B - C} \right| \ge 1,\left| {C - A} \right| \ge 1\) ,求\(\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)\)的最小可能值.

10.（三等奖，四川刑凯慧）已知非负实数$x,y,z$满足$x^2+y^2+z^2=1$，证明
\[\frac{x+y}{z^2(x+y)+x^3+y^3}+\frac{y+z}{x^2(y+z)+y^3+z^3}+\frac{z+x}{y^2(z+x)+z^3+x^3}\le\frac92\]

11.（三等奖，辽宁张雷）已知正实数$a,b,c$，满足$a+b+c=ab+bc+ca$，若\[\frac1{1+a}+\frac1{1+b}+\frac1{1+c}\ge k\]恒成立，求$k$的最大值.

12.（三等奖，四川姚先伟）设$x_i>0$，且$\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{1+x_i}=1$,证明
\[\sum_{i=1}^n\frac1{x_i^3}\ge n(n-1)^3\]

13.（三等奖，四川宿晓阳）在$\triangle ABC$中，证明
\[\frac{\cos^2B}{\sin^2A}+\frac{\cos^2C}{\sin^2B}+\frac{\cos^2A}{\sin^2C}\ge1\]

14.（三等奖，安徽）已知$n$是正整数,证明
\[\frac{1^2C_n^1}{1}+\frac{2^2C_n^2}{4}+\frac{3^2C_n^3}{7}+\cdots+\frac{n^2C_n^n}{3n-2}\le2^{n-2}n\left[n-\frac{3(n-1)^2+1}{9(n-1)^2-1}\right]\]

_________________________转载部分到此_________________________


以下开始就不是转载的了。

话说，其实我比较好奇的是这样的命题比赛是按照怎样的标准来评比的呢？

个人感觉有的题目似乎水了点，就看了前面几个：
第 1 题换元后等价于一年多前的这道题：http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-110-1-1.html；
第 3 题很弱，易证 $LHS\geqslant3/2\geqslant RHS$，昨晚群里也有人写过了，而且条件中那个 $\sqrt2$ 的上限是多余的；
第 4 题贴里可能写错了，我估计是 $(a^{2012}-a^{2010}+3)(b^{2012}-b^{2010}+3)(c^{2012}-c^{2010}+3)\geqslant3(a+b+c)^2$ 才对，而这其实只是减弱了熟知的 $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geqslant3(a+b+c)^2$ 而已，正数条件也是多余的；
……
待续

第 8 题等价于这道：http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-1021-1-1.html（2009IMO）
第 12 题很弱，见后面的回贴（6#、15#、16#、19#、20#、22#）
第 10 题等价于 $\sum\frac1{1-xy}\leqslant\frac92$，也算是一个比较多见的不等式，详细见23#。

以后k去命题比赛，以人教著名版主的名气和实力，保准一等奖。

3# yes94

我不懂得命题，只是好奇是怎么评的……

4# kuing
你的那些不等式的推广啊、加强啊之类的，也算是命题噻，
猜测是名气（过去在刊物经常发表文章，为编辑们所熟悉）和该题的命制过程，这些的综合吧。
还有就是，参赛人数少了，质量就不是很好，就只有那几个编辑们熟悉的老面孔获奖了，
如果参赛人很多，那么也常常只看那几个编辑们熟悉的老面孔，新人如果不是特别标新立异，很难脱颖而出（但不排除有脱颖而出的新人）。

第 12 题也有点弱，换元后那个函数是下凸的，所以切线法、琴生都行，柯西、各种平均值不等式这些也自然能秒了……

我个人比较喜欢的是第 11 题：

11.（三等奖，辽宁张雷）已知正实数 $a$, $b$, $c$，满足 $a+b+c=ab+bc+ca$，若\[\frac1{1+a}+\frac1{1+b}+\frac1{1+c}\geqslant k\]恒成立，求 $k$ 的最大值。

条件和不等式都很简洁漂亮，而且虽然不等式的次数低，但是却没有想象中那样简单，玩下去还会发现并不是最常规的取等。

3# yes94

我不懂得命题，只是好奇是怎么评的……
kuing 发表于 2013-2-7 21:12

先不说评不评的事，我觉得数学里，其实对题不应该说“难”与“不难”，应该说“熟悉”与“不熟悉”

只因kuing对这些东西太熟，所以才有此感

而这便是一种境界

先不说评不评的事，我觉得数学里，其实对题不应该说“难”与“不难”，应该说“熟悉”与“不熟悉”

只因kuing对这些东西太熟，所以才有此感

而这便是一种境界
isea 发表于 2013-2-7 23:50

对题不应该说“难”与“不难”，应该说“熟悉”与“不熟悉”
呵呵！那学生怎么经常说题很难啊？对大多学生来说，很多题他们都是不熟悉的，否则怎么会叫苦数学难学？
不过呢，得奖不一定是最难的题才得奖，如果一道题让参赛的选手都做不出来，那么这道题就不太应该获奖（当然IMO、国家IMO选拔赛等等除外）。

评选的人都应该对初等不等式很熟悉吧，至少像第四题那种应该很明显能看出来。不是说要最难才得奖但也不能太水吧，我觉得应该要完全原创，要改编至少要搞深一些，而不是像第四题和第八题那样对经典题目改编而且两步之内轻松还原。

10# kuing
这就是IC说的，能一两步就看出来，这便是一种境界！

11# yes94

我相信你也能看出

12# kuing
我不敢看哦，关于不等式，只会高考难度的，或略大于高考难度以及竞赛初赛难度的，

13# yes94

别被标题给吓了。。。我前面点的几题你应该能做啊。

第 12 题也有点弱，换元后那个函数是下凸的，所以切线法、琴生都行，柯西、各种平均值不等式这些也自然能秒了……
kuing 发表于 2013-2-7 21:37

第$12$题的确太弱！下面用切线法搞定它！
做换元，令$a_i=\dfrac{x_i}{1+x_i}>0$，则$x_i=\dfrac{a_i}{1-a_i}，i=1，2，\cdots，n$，
于是本题等价于已知$a_i>0(i=1，2，\cdots，n)$，且$a_1+a_2+\cdots+a_n=1$，求证：$\sum_{i=1}^{n}(\dfrac{1-a_i}{a_i})^3\geqslant n(n-1)^3$。
令$f(x)=\dfrac{1-x}{x}=\dfrac1x-1$，显然$f(x)$是$y=\dfrac1x$向下平移一个单位而得，故在$(0，+\infty)$是下凸函数。易求导得在$x=\dfrac1n$出的切线方程为$y=-n^2x+2n-1$，并且从图像可以看出$f(x)$在该切线的上方，于是$f(x)=\dfrac{1-x}{x}=\dfrac1x-1\geqslant -n^2x+2n-1$，当且仅当$x=\dfrac1n$取等号。
    （这里从图形上看出，免去了证明，代码输入麻烦，而且没有令$f(x)=(\dfrac{1-x}{x})^3$，这是因为可以使求导简单些）。
于是$\sum_{i=1}^{n}(\dfrac{1-a_i}{a_i})^3=\sum_{i=1}^{n}[f(a_i)]^3\geqslant\dfrac{[\sum_{i=1}^{n}f(a_i)]^3}{n^2}$         $\geqslant \dfrac{[\sum_{i=1}^{n}(-n^2a_i+2n-1)]^3}{n^2}=\dfrac{[-n^2+(2n-1)n]^3}{n^2}=n(n-1)^3$。
取等号略。

15# yes94
不等式$f(x)=\dfrac{1-x}{x}=\dfrac1x-1\geqslant -n^2x+2n-1（x>0）$很好证明的，下面补上证明：
上述不等式$\Longleftrightarrow \dfrac1x\geqslant -n^2x+2n\Longleftrightarrow 1\geqslant -n^2x^2+2nx\Longleftrightarrow (nx-1)^2\geqslant 0$，
   这显然成立 ，当且仅当$x=\dfrac1n$取等号。

16# yes94

等价于可以用 \iff

17# kuing
我的很多代码几乎全部在你那个置顶输入帖子里复制的，所以缩写与不缩写，效果一样， ，等到熟悉了，就能领会缩写是什么意思了，现在对代码输入稍微有点感觉了！

18# yes94
第 $12$ 题还可以这样做(用两次权方和即可)：
$\sum_{i=1}^{n}(\dfrac{1-a_i}{a_i})^3=\sum_{i=1}^{n}(\dfrac{1}{a_i}-1)^3$$\geqslant \dfrac{[\sum_{i=1}^{n}(\dfrac1{a_i}-1)]^3}{n^2}$$\geqslant\dfrac{(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_i}-n)^3}{n^2}\geqslant \dfrac{(\dfrac{n^2}{\sum_{i=1}^{n}a_i}-n)^3}{n^2}=n(n-1)^3$。

做起劲了，第$12$题再来一个方法： 自娱自乐，
     证法三：显然$\dfrac{1}{a_i}-1>0，n-1\geqslant0$，由均值不等式可知，$(\dfrac{1}{a_i}-1)^3+(n-1)^3+(n-1)^3\geqslant 3(n-1)^2(\dfrac{1}{a_i}-1)$，
对上式求和，并记$M=\sum_{i=1}^{n}(\dfrac{1-a_i}{a_i})^3=\sum_{i=1}^{n}(\dfrac{1}{a_i}-1)^3$，则
$M+2n(n-1)^3\geqslant 3(n-1)^2[\sum_{i=1}^{n}(\dfrac{1}{a_i}-1)]\geqslant 3(n-1)^2(\dfrac{n^2}{\sum_{i=1}^{n}a_i}-n)=3(n-1)^2(n^2-n)$，
    于是，$M\geqslant 3(n-1)^2(n^2-n)-2n(n-1)^3=n(n-1)^3$。              Done！