[几何] 来自人教群的昨晚没时间写的解几共圆

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2013-2-4 12:56

几何意义不知道，只知道用二次曲线系会比较简单，或者说是一个背景结论。

设两直线 $y=k_1x+b_1$, $y=k_2x+b_2$ 与二次曲线 $Ax^2+By^2=1$（$A\ne B$ 且 $A$, $B$ 至少一个为正）相交于四点，则过这四点的二次曲线系为
\[\lambda(k_1x-y+b_1)(k_2x-y+b_2)+\mu(Ax^2+By^2-1)=0,\]
其中 $\lambda$, $\mu$ 不同为 $0$。因此，该四点共圆当且仅当存在 $\lambda$, $\mu$ 使得上述方程为圆，将方程展开为
\[(\lambda k_1k_2+\mu A)x^2+(\lambda+\mu B)y^2-\lambda(k_1+k_2)xy+\cdots=0,\]
此方程为圆当且仅当
\[
\left\{\begin{aligned}
&\lambda k_1k_2+\mu A=\lambda+\mu B\ne0,\\
&\lambda(k_1+k_2)=0,
\end{aligned}\right.
\]
若 $\lambda=0$，则 $\mu\ne0$，再由 $A\ne B$ 知上述方程组不可能成立，所以 $\lambda\ne0$，因此必须有
\[k_1+k_2=0,\]
反之，当 $k_1+k_2=0$ 时，方程组必有解。

所以，该四点共圆当且仅当两直线斜率互反。

回到原题，可知定点就是过 $A$ 且斜率为 $-1/2$ 的直线与椭圆的另一个交点，即 $(0,1)$。

1# kuing

设$B(0，1)$，则$k_{AB}=-\dfrac12$，而$k_{PQ}=\dfrac12$，于是$k_{AB}+k_{PQ}=0$。
我还往$PQ$中点$M$在定直线($OM$)：$y=-\dfrac12x$上想呢！此时直线$OM$和直线$AB$平行，这有奥妙吗（$OM//AB$)？
只是方程成为圆，是不是还需要其它条件……

2# yes94

那二次曲线至少过那四点，不会是虚圆也不会是一个点，所以只要系数满足那个方程组就行了。

3# kuing
明白了，
那担心是多余的，

嗯，曲线系确实简单，比标答和我的解法简单多了

怎么想到曲线系了。。。我想不到

6# yuzi

印象中如果没记错的话是几年前见 ab1962 用过一次这种方法……不过题目应该不一样，好像是反过来的

嗯，曲线系确实简单，比标答和我的解法简单多了
yuzi 发表于 2013-2-4 13:42

鱼子的什么做法啊？标答呢？欣赏一下？
另外，那个$OM\sslash AB$有没有用？是碰巧？

8# yes94

是碰巧，换别的椭圆就没这关系了

关于椭圆上四点共圆的充要条件的一个资料，他用的是相交弦定理（直线的参数方程）
可以推广到圆锥曲线。
http://wenku.baidu.com/view/57b3 ... ight=10&count=5

9# kuing
哦，

1# kuing
那是不是得事先知道定点一定在椭圆上呢？

12# hongxian

应该说是在知道那个共圆的充要条件下能够判断出在椭圆上。

椭圆$C$：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，$A(a，0)$，$B(0，b)$，不经过原点的直线$l$和椭圆$C$交于$P、Q$两点，且线段$PQ$的中点为$M$，若$A、B、P、Q$四点共圆，则$OM\sslash AB$
这个结论对不对？

椭圆$C$：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，$A(a，0)$，$B(0，b)$，不经过原点的直线$l$和椭圆$C$交于$P、Q$两点，且线段$PQ$的中点为$M$，若$A、B、P、Q$四点共圆，则$OM\sslash AB$
这个结论对不对？
yes94 发表于 2013-2-5 15:53

由1#结论知 $k_{PQ}+k_{AB}=0$，由共轭直径神马之类的东东知 $k_{OM}\cdot k_{PQ}=-b^2/a^2$，消去 $k_{PQ}$ 即得
\[k_{OM}\cdot k_{AB}=\frac{b^2}{a^2},\]
因此 $\abs{k_{AB}}=b/a \riff OM\sslash AB$。

15# kuing
谢谢！