[函数] 只需要解答第三问(转自解题群)的(1)

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2013-2-3 13:06

奇函数可以证明.


————kuing edit in $\LaTeX$————

已知定义在 $\mbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足：
1、对任意的实数 $x$, $y$，有 $f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y)$
2、$f(1)=2$
3、$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上为增函数
（I）求 $f(0)$ 及 $f(-1)$
（II）判断函数 $f(x)$ 的奇偶性，并证明
（III）（说明：请在（i）（ii）问中选择一问解答即可。若选择（i）并解答正确，满分6分，若选择（ii）并解答正确，满分4分）
（i）设 $a$, $b$, $c$ 为周长不超过 $2$ 的三角形三边的长，求证：$f(a)$, $f(b)$, $f(c)$ 也是某个三角形三边的长
（ii）解不等式 $f(x)>1$

1# realnumber
既然只需解答第3问，那么把第一二问的简要答案写出来噻，或者他得到了哪些主要结果，
这样可以减轻解答者的负担，使他可以集中精力……

2# yes94
那个人什么也没写啊,奇函数是容易的,[0,1]上增函数就直接用,第三问和这些关系也不大.
写些第三问相关的(其实这些容易得到,但愿别干扰你的思路),假设$a\ge b\ge c$,因为$a+b+c\le2$,所以$1> a\ge b\ge c\ge0$,
而由单调性,$f(a)\ge f(b)\ge f(c) \ge 0$,只需要证明$f(a)<f(b)+f(c)$,...

那个人什么也没写啊,奇函数是容易的,[0,1]上增函数就直接用,第三问和这些关系也不大.
写些第三问相关的(其实这些容易得到,但愿别干扰你的思路),假设$a\ge b\ge c$,因为$a+b+c\le2$,所以$1> a\ge b\ge c\ge0$,
而由单调性,$f(a)\ge f(b)\ge f(c) \ge 0$,只需要证明$f(a)<f(b)+f(c)$,...
realnumber 发表于 2013-2-3 13:45

证更强式 $f(a)+f(b+c-a)\leqslant f(b)+f(c)$ 就行了，这个比较容易，注意到由条件可得 $f(x)+f(y)=f(1-(x-y)/2)f((x+y)/2)$。

4# kuing
忧闷了,怎么看出来的呢?我还以为参考函数$y=2\sin{0.5\pi x}$,

易证 $\abs{f(x)}\leqslant2$，故当 $x$, $y\in[0,1]$ 时，有 $f(x)+f(y)=f(1-(x-y)/2)f((x+y)/2)\leqslant2f((x+y)/2)$，所以 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是上凸函数……

基础性成果，都没人写，例如$f(0)=$?$ f(-1)$=?

7# yes94

1#不是已经补充说了已证奇函数么

8# kuing
浏览论坛，不一定时时要带着草稿纸啊？

6# kuing
就需要上凸函数,得到这个不等式,却没看出来.

1楼发题苏老师其它小题的解答
见楼下

(80.22 KB)

2013-2-4 19:05

12# suwenyu333x
欢迎苏老师,~~~

12# suwenyu333x
欢迎苏老师,~~~
realnumber 发表于 2013-2-4 19:18

欢迎苏老师！

莫非是出题的来了？

PS、为了方便存档，编辑了一下1#，打成 latex