[组合] 来自人教群的数三角形[未解决]

爱好者 bb226562  16:39:00
一个圆周上给定7个点，两两用线段相连，所得图形中三角形的个数至少多少个？

7个点那么多，我……
话说，5个点以下的话个数确定（如果没数错的话5个点时35个三角形），因为至少六边形才能让对角线共点，所以6个点的时候有两种情况，且个数相差1，但我已经数不来了……还7个……我

突然发现这个贴的ID是1111……
也就是本论坛第1111个贴了

7边形，对角线共点的话也只能是3条共1点，因为想要4条共1点至少要八边形了。
那么7边形的对角线最多能有多少个这样的共点？（猜测3）

3# kuing
7个吓人啊,要是必须是7个点的其中三点为顶点.那还容易.

7边形，对角线共点的话也只能是3条共1点，因为想要4条共1点至少要八边形了。
那么7边形的对角线最多能有多少个这样的共点？（猜测3）
kuing 发表于 2013-2-2 18:37

的确是3，不过证起来……表达真是好麻烦。
\(\newcommand\xxx{{\Large *}~\text{点}}\)

为方便讲述，当多边形三条对角线共点于多边形内，我们称所共的那个点叫 $\xxx$。

要证明的是：圆内接 7 边形的所有对角线最多构成 3 个 $\xxx$。

先构造 3 个 $\xxx$的情形。

(21.28 KB)

2013-2-2 22:01

然后证明不可能有 4 个 $\xxx$。假设有 4 个 $\xxx$，由于每个 $\xxx$需要 6 个顶点来构成，而现在只有 7 个顶点，所以必有 3 个顶点同时应用于那 4 个 $\xxx$的构成，记这 3 个顶点为 $A$, $B$, $C$，也就是说那 4 个 $\xxx$同在 $\triangle ABC$ 的边上。
我们用如下示意图来表示其中一种情况

(9.52 KB)

2013-2-2 22:01

当我们将那些短线延长，不难看出，它们会与圆相交于至少 6 个点（异于 $A$, $B$, $C$），所以不可能是由 7 边形构成。
其他情况类似均可以地得出不可能（很难表达，自己试着想想吧），于是结论成立。

每减少一个 $\xxx$，三角形个数将增加 1（应该没问题吧？），于是由楼上可知圆内接 7 边形及其所有对角线构成的三角形个数有四种可能，且是四个连续的数字，最少的情况就是楼上第一个图，至于是多少，我还是没数出来……

最怕组合计数了！