[几何] 来自粉丝群的平几，等腰三角形等线段

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2013-2-2 15:50

证：

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2013-2-2 15:50

在 $AF$ 延长线上取点 $G'$ 使 $AF=FG'$，连结 $G'B$, $G'C$, $G'D$, $G'E$，
由 $DE$, $AG'$ 互相平分知 $ADG'E$ 为平行四边形，
从而有 $BD=AE=DG'$, $CE=AD=EG'$ 且 $\angle BDG'=\angle BAC=\angle CEG'$，
所以 $\triangle BDG'$ 与 $\triangle CEG'$ 为相似的等腰三角形，于是有
\[\angle BG'D+\angle DG'E+\angle EG'C=\angle BG'D+\angle G'DB+\angle DBG'=180^\circ,\]
可见 $B$, $G'$, $C$ 三点共线，所以 $G'$ 与 $G$ 重合，即原命题得证。

其实我一开始想用梅氏定理，没成功……但总感觉可行……

此题有个变式，是其证明中间过程。
http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=668180
3楼，其实没什么看头，下面就是要说的


其次，用同一肯定搞定的。

另外，直接过$D$作$DH$平行于$AE$交$BC$于$H$，则$DH=DB=AE$，连$HA$则过$DE$中点。

从现在的眼光看，此题用向量是最简单的，丢楼下，有代码嘛……

$D,F,E$三点共线 ；$B,G,C$三点共线。
\begin{align*}
2\vv {AF}&=\vv {AD}+\vv {AE}\\
\\
2\dfrac{AF}{AG}\vv {AG}&=\dfrac{AD}{AB}\vv {AB}+\dfrac{AE}{AC}\vv {AC}\\
\\
\dfrac{2AF}{AG}&=\dfrac{AD}{AB}+\dfrac{AE}{AC},AB=AC,AE=BD\\
\\
\dfrac{2AF}{AG}&=\dfrac{AD+AE}{AB}=\dfrac{AB}{AB}=1\\
\\
……
\end{align*}

今天论坛比较不稳定，建议在本地任意文本编辑器上打好再复制过来回贴，以免回贴时出错致白打……

慢得人都快疯了，还以为偶的网出问题了

闪人了

6# isea

I'm sorry...
整个5d6d都这样，时慢时快

向量用得 nice！
3#那链接又是一个大贴，isea，我建议你将你的大贴整理成文章，可以发表

证明△AEF与△GDF全等即可

9# 第一章

怎么证

9# 第一章

11# 第一章

oh，好像看懂了……也不错

其实我一开始想用梅氏定理，没成功……但总感觉可行……
kuing 发表于 2013-2-2 17:05

我和你的感觉一样，搞了很多个梅氏定理的等式，结果终于筛选出来了两个有用的！

13# yes94

那就是证出来了？写来瞧瞧

14# kuing
连结$DG$，并延长$ED$、$CB$交于点$H$，则由梅氏定理知，
$\dfrac{DA}{AB}\cdot\dfrac{BG}{GH}\cdot\dfrac{HF}{FD}=1$，
$\dfrac{EA}{AC}\cdot\dfrac{CG}{GH}\cdot\dfrac{HF}{FE}=1$，
因为$AB=AC$，$FD=FE$，故$DA\cdot BG=EA\cdot CG$，即$\dfrac{DA}{EA}=\dfrac{CG}{BG}$
由于$EA=BD$，故$\dfrac{DA}{BD}=\dfrac{CG}{BG}$，
于是$DG//AC$，
以下就是显然的了。
不知道代码显示对不对，

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2013-2-3 00:28

15# yes94

原来如此，应该没问题，不错。
不过没我想象中简洁，我以为可以列几个那样的等式直接解出相等来……

16# kuing
我的目标和你一样，也是列出一大堆梅氏定理等式，然后选出有用的，解出线段相等（或者2倍关系）
却意外得到平行！与初衷背道而驰，

昨晚太困了，急着要睡觉。早上起来证了一下，可以只作两条辅助线。
PS，以前学会了代码的，不过一年没用了，忘记得差不多了。

18# 第一章

其实昨晚我就是这样看的。

今天回过来发现，这道题还真的很简单呢！
因为梅氏定理的一种证法是平行线方法，另一种是用面积法，而平行线方法第一章已经完成，所以试一试面积法是否可做，结果一试，完全一帆风顺的成功了！

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2013-2-4 13:53

设$\angle BAG=\alpha$，$\angle GAC=\beta$，
因为$F$为$DE$的中点，故$S_{\triangle ADF}=S_{\triangle AEF}$，于是$AD\sin\alpha=AE\sin\beta$，
   即$\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{BD}{AD}$ （因为$AE=BD$）。
而$\dfrac{BG}{GC}=\dfrac{S_{\triangle ABG}}{S_{\triangle ACG}}=\dfrac{AB\sin\alpha}{AC\sin\beta}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{BD}{AD}$（因为$AB=AC$）。。
故$DG\sslash AC$，以下略。
终于编辑好了，那多了个}都没看出来，，谢谢