除了列举法之外，能否把证明过程严密的写出来

除了列举法之外，能否把证明过程严密的写出来

______kuing edit in $\LaTeX$______
14. 将整数 $1,2,3,\ldots,25$ 填入如图所示的 5 行 5 列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为_____，最大值为_____。

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline\\
　&　&　&　&　\\
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\end{array}

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realnumber

论坛元老

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帖子: 590

2^#

发表于 2013-2-1 18:43

本帖最后由 realnumber 于 2013-2-1 19:28 编辑

第3列所有数的和为$x$,第4列所有数的和为$x+s+5$,第5列所有数的和为$x+s+t+10$,其中$s,t$为非负整数.
那么后三列和$3x+2s+t+15\le 11+12+13+...+25$(不会超过最大的15个数的和),可得$x\le85$,而第3列依次为$11,14,17,20,23$正好取到,说明就是最大值$85$.
第3列所有数的和为$x$,第2列所有数的和为$x-s-5$,第1列所有数的和为$x-s-t-10$,其中$s,t$为非负整数.
那么前三列和$3x-2s-t-15\ge 1+2+3+...+15$(不会小于最小的..),可得$x\ge45$,而第3列依次为$3,6,9,12,15$正好取到,说明就是最小值$45$.

kuing

管理员

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3^#

发表于 2013-2-1 19:30

2# realnumber

顺便试试用代码画表，举最小最大值的例

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline\\
1 & 2 & 3 & 16 & 17 \\
\hline\\
4 & 5 & 6 & 18 & 19 \\
\hline\\
7 & 8 & 6 & 20 & 21 \\
\hline\\
10 & 11 & 12 & 22 & 23 \\
\hline\\
13 & 14 & 15 & 24 & 25 \\
\hline
\end{array}

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline\\
1 & 2 & 11 & 12 & 13 \\
\hline\\
3 & 4 & 14 & 15 & 16 \\
\hline\\
5 & 6 & 17 & 18 & 19 \\
\hline\\
7 & 8 & 20 & 21 & 22 \\
\hline\\
9 & 10 & 23 & 24 & 25 \\
\hline
\end{array}

代码自己右键查看

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）