[不等式] 前晚天书在粉丝群里提及的一对几何不等式

天书(1846******) 0:14:54
sinA+sinB+sinC>=sin2A+sin2B+sin2C遇到个类似的：csc2A+csc2B+csc2C>=cscA+cscB+cscC
天书(1846******) 0:16:14
这俩不等式好养眼的说...

记录一下。
第一个我在《数学空间》2011第2期P14例2.2.10提过，等价于熟知的$\sin(A/2)\sin(B/2)\sin(C/2)\leqslant1/8$。
但是没发现到还有第二个的类似，放一起的确养眼了，不过显然第二个需要在锐角三角形的条件。
作角代换 $A\to(\pi-A)/2$，等价于任意三角形下的
\[\csc A+\csc B+\csc C\geqslant\sec\frac A2+\sec\frac B2+\sec\frac C2,\]
用内切圆代换很容易证明上式，就是不知道有没有不代数化的证法，像第一个那样，转化为熟知的东东？

时间关系先闪，明天再玩玩。