[不等式] 数列类型的Inequality

请教，如图最后那个不等式不知道如何分析如何下手

楼主对数列不等式似乎情有独钟哟……
这是我相对弱的东东……

对了，bn 通项如何

bn我求不出来

我高三，现在放寒假，最近在狂做题，这最后一题基本上都是这种类型，所以问的多

噢，原来 bn 那个递推式也就是那个FAQ递推，昨天在这里才用过，通项的确是求不出来的。

噢，原来 bn 那个递推式也就是那个FAQ递推，昨天在这里才用过，通项的确是求不出来的。
kuing 发表于 2013-1-30 20:51

那{$a_n$}通项呢？
不要又叫我百度哈？
问问题的老规矩……

6# yes94
对象回复错了，

6# yes94


且看

8# yayaweha
这就对了噻，等会儿版主就可能给你答案了

能证明$\dfrac12(2^n-\dfrac1{2^n})<lnb_{n+1}<2^n-\dfrac1{2^n}$就好了，

10# yes94


bn的范围确定是个关键

11# yayaweha

昨天我就在做 bn 的估计，也没得到什么好的结果

11# yayaweha

昨天我就在做 bn 的估计，也没得到什么好的结果
kuing 发表于 2013-1-30 21:42

我问的这题知道b2=e，我觉得这是个突破口

$b_{n+1}=b_n(b_n+1)>{(b_n)}^2$-----(1)
那么$\ln(b_2)=1,\ln(b_3)>2,\ln(b_4)>2^2,....,\ln(b_n)>2^{n-2}$,又$\ln(b_1)>0$
所以$\ln(b_1)+\ln(b_2)+...+\ln(b_n)>1+2+2^2+...+2^{n-2}=2^{n-1}-1>\frac{3}{2}(a_n-1)$.
又$b_{n+1}=b_n(b_n+1)<e{(b_n)}^2$------(2)
那么那么$\ln(b_2)=1,\ln(b_3)<2+1=2^2-1,\ln(b_4)<2^2+2+1=2^3-1,....,\ln(b_n)<2^{n-2}+2^{n-3}+...+1=2^{n-1}-1$,又$\ln(b_1)<1$.
所以所以$\ln(b_1)+\ln(b_2)+...+\ln(b_n)<1+1+(2^2-1)+...+(2^{n-1}-1)=2^n-n<3a_n-1$.
--ps,(1)(2)其实放缩得很宽松,特别开始几项严重影响后面.
比如(2)可以修改为$b_{n+1}=b_n(b_n+1)<e^{0.5}{(b_n)}^2$------(2),诸如此类,计算会开始复杂.

14# realnumber

嗯，很松，所以这种不是我想要的估计

能证明$\dfrac12(2^n-\dfrac1{2^n})<lnb_{n+1}<2^n-\dfrac1{2^n}$就好了！
yes94 发表于 2013-1-30 21:33

实际只需证明：$2^{n-1}<lnb_{n+1}<2^n-1$即可，
那么此时必定$\dfrac12(2^n-\dfrac1{2^n})<lnb_{n+1}<2^n-\dfrac1{2^n}$，于是由累加法立得。
所以此不等式较弱。