[几何] 轨迹问题

已知非等腰$\Delta ABC$中有内点$P$满足$\angle PBA=\angle PCA$求证:$P$的轨迹是双曲线

差点以为那是什么布勃卡点之类的东东呢？

已知非等腰$\Delta ABC$中有内点$P$满足$\angle PBA=\angle PCA$求证:$P$的轨迹是双曲线
Gauss门徒 发表于 2013-1-30 01:31

应该说是双曲线的一部分吧。
不知下面这样证行不行？感觉不太严格，至少缺一些特殊情况的说明，因为用到了斜率，有时会不存在，还有引理中包含了退化情形，但这里都暂时忽略掉。

引理：与两定点连线斜率之积为正常数的点在一条双曲线（或退化的）上。（证明略）

总以水平方向为 $x$ 轴，不妨设 $C>B$，图形一开始时 $BC$ 水平放置，$B$ 在左，$C$ 在右且 $A$ 在上方。
设 $\angle PBA=\angle PCA=\alpha$，则 $PB$ 与 $PC$ 的斜率分别为
\begin{align*}
k_{PB}&=\tan (B-\alpha ), \\
k_{PC}&=\tan (\alpha -C),
\end{align*}
现将图形逆时针旋转 $\theta$ 角，旋转后 $PB$ 与 $PC$ 的斜率分别变为
\begin{align*}
k_{PB}'&=\tan (B-\alpha +\theta ), \\
k_{PC}'&=\tan (\alpha -C+\theta ),
\end{align*}
令
\[(B-\alpha +\theta )+(\alpha -C+\theta )=\frac\pi2 \iff \theta =\frac{\pi +2C-2B}4,\]
此时就有
\[k_{PB}'\cdot k_{PC}'=1,\]
可见此时 $P$ 的在一条双曲线上，而旋转不改变曲线形状，所以未旋转前的 $P$ 也在一条双曲线上。

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2013-1-30 15:15

差点以为那是什么布勃卡点之类的东东呢？
yes94 发表于 2013-1-30 14:18

你是说 $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$ 那个 Brocard 点？

4# kuing
对，