$\lim_{n\to+\infty}a_n$ 与 $\lim_{n\to+\infty}\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}$

求证：若 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=a$ 则 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}=a$。
反之如何？

取 $a_n=(-1)^n$

反例

$a_{2n+1}=2a$

$a_{2n}=0$

2# 海盗船长


:D 这个更好

但可以证明
如果
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=1}^n a_{i}}{n}=a$
就有
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{n}=0$

4# 海盗船长

能不能把字体弄大一点？

但可以证明
如果
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=1}^n a_{i}}{n}=a$
就有
$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{n}=0$
海盗船长 发表于 2011-9-29 17:26

$x_n$ 是啥？

4# 海盗船长

能不能把字体弄大一点？
海盗船长 发表于 2011-9-29 17:34

你指的是公式还是什么？

哦，是$a_n$。。

7# kuing

公式

9# 海盗船长


可以在公式前加 \displaystyle，或者用行间公式模式。

哦，我来试试

可以利用O.Stolz定理  这个定理在微积分教程（菲赫金哥尔茨著作）P50

12# 尐蒓江华


谁都知道啦，。。。。

我学的那本复旦版的数学分析上全都有。。。

后者又被称为 a[n] 的 Cesaro 极限（区别于Cauchy极限）

由stolz定理可证得。