[不等式] $\max\{1,ab,a+b\}\ge\frac{4}{9}(1+a)(1+b)$,怎么推广?

例4  任意$a,b\in R$，求证：$\max\{1,ab,a+b\}\ge\frac{4}{9}(1+a)(1+b)$. --mathlink上碰到的,做完了,总觉得没领会到什么,怎么推广?或....
证明:假设存在$a,b\in R$,令$s=1+a,t=1+b.$
有以下三式同时成立,\[1<\frac{4}{9}st---(1)\]\[s+t-2<\frac{4}{9}st---(2)\]\[(s-1)(t-1)<\frac{4}{9}st---(3)\]
由(1)(3),可得$s>0,t>0$,又$4st\le{(s+t)^2}$----(4).
由(1)(4),可解得$s+t>3$,由(2)(3)解得$s+t<6$.
由(2)(4),可解得$s+t<3或s+t>6$,矛盾.可见原不等式成立.

（4）？
还有，解答过程过于简略，
怎么推广？

2# yes94
修改好了,其实很简单的一次二次不等式,不需要写过程的.

2# yes94
修改好了,其实很简单的一次二次不等式,不需要写过程的.
realnumber 发表于 2013-1-30 18:41

你自己觉得简单罢了，
别人不拿草稿纸恐怕看不出来吧？

4# yes94
我也是草稿上算的,口算太费力,

先试试3元？

PS、max -> \max ；中间那三行公式可以试试用 align 环境，自动编号。

话说，那个 max 和 4/9 让我回想起这道题：http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-388-1-1.html

7# kuing
这么巧啊？
$(a+b)^2\ge4ab$成立。
那不是可以推广为：
$\min\{1,ab,a+b\}\leqslant \dfrac14(1+a)(1+b)$

7# kuing
这么巧啊？
$(a+b)^2\ge4ab$成立。
那不是可以推广为：
$\min\{1,ab,a+b\}\leqslant \dfrac14(1+a)(1+b)$
yes94 发表于 2013-1-31 17:45

应该是，这样看上去两道题说不定有关联……

如果那个贴的条件可以弱化一些（将“正系数”改弱些）就可以利用它来证明1#及8#
先煮饭……

10# kuing
好勤快！妹子最喜欢了！

那个贴子的一般系数情况已经证出，见：http://kkkkuingggg.5d6d.net/view ... &page=1#pid6360
现将该命题引用过来：

设 $a$, $b$, $c\in\mbb R$ 使得关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 有实根，则有
\begin{align*}
\max\{a,b,c\}&\geqslant\frac49(a+b+c);\\
\min\{a,b,c\}&\leqslant\frac14(a+b+c).
\end{align*}

由此命题知，因为方程 $(x+a)(x+b)=0$ 有实根，展开为 $x^2+(a+b)x+ab=0$，因此有
\begin{align*}
\max\{1,a+b,ab\}&\geqslant\frac49(1+a+b+ab)=\frac49(1+a)(1+b),\\
\min\{1,a+b,ab\}&\leqslant\frac14(1+a+b+ab)=\frac14(1+a)(1+b),
\end{align*}
这样就得到了 1# 及 8# 的结果。

没想到啊！这个帖子居然和我发的那个帖子有关，可是我就不认识了，即便认识，也不知道怎么办，
还是斑竹厉害！

瞎蒙一个\[a,b,c\in R,\max{\{1,a+b+c,ab+bc+ca,abc\}}\ge\frac{3^3}{4^3}(1+a)(1+b)(1+c)\].

14# realnumber

前几天试三元的时候就猜这种形式，不过你这个系数肯定不正确。先猜 $a=b=c=t$ 取等，取 $t=1$ 知右边系数不能比 $3/8$ 大，我估计有可能就是
\[\max{\{1,a+b+c,ab+bc+ca,abc\}}\geqslant\frac38(1+a)(1+b)(1+c),\]
不过没证到

你那个猜的时候应该是取 $t=3$ 来猜的吧，也是很合理的想法，因为此时后面两个相等，不过可惜计算发现 $t=1$ 得到的必要条件的更佳。
其实也可以通过画 $\max\{1,3t,3t^2,t^3\}$ 与 $k(1+t)^3$ 的图来找更好的 $k$，用类似方法试了下四元，找到了如下猜测：
\[\max\{1,a+b+c+d,ab+ac+ad+bc+bd+cd,abc+abd+acd+bcd,abcd\}\geqslant\frac{216}{625}(1+a)(1+b)(1+c)(1+d),\]
当然，暂时全都是猜测，估计要有突破性的证明方法才能搞定它们