[几何] 这道求角度的题人教初中区应该有链接，谁找找

如题，这道求角度的题人教初中区应该有链接，我不熟悉那里，没找着，谁来挖挖

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2013-1-26 15:27

如图，四边形 $ABCD$ 的对角线交于 $E$，$\angle BEC=72^\circ$，$\angle ABD=18^\circ$，$\angle ACD=30^\circ$，且 $BE=CE$，求 $\angle ADB$ 的度数。

有差不多的，图象，没细看，15楼图8，19楼longnetpro有解，后亦有深入讨论

可供参考

http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... d=668772&extra=

2# isea

哇，好长的贴……
话说用三角函数应该都可以搞，只不过我在想辅助线……

这种题多半是初二的竞赛题，多数时候都有很巧的平几法。
或者是 高中联赛试题，这题图倒是很熟悉。

这种题从对称，等边，旋转，共圆方向与思考，一般有一种“组合”办法得到结果，
但偶真心怕这种题，太伤脑子了，等哪天有空的时候看看或者欣赏一下此题过程。

闪人

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2013-1-27 18:06

搞成这样了，有不少等腰三角形还有共圆，但是还是没推出来，除了用角元塞瓦定理之外……

话说用角元塞瓦定理感觉还有点liu氓……
\[\frac{\sin x}{\sin(54^\circ-x)}\cdot\frac{\sin54^\circ}{\sin42^\circ}\cdot\frac{\sin12^\circ}{\sin18^\circ}=1,\]
直接验证 $x=30^\circ$ 是其中一个解，再由图形知 $x$ 唯一，所以就只有 $x=30^\circ$ 了……
而验证 $x=30^\circ$ 的时候有没有什么巧妙办法呢？我是直接将各个三角函数值代入验证的……

7# kuing

oh，原来用那个用得比较少的三倍角公式就行了
\begin{align*}
\frac{\sin30^\circ}{\sin24^\circ}\cdot\frac{\sin54^\circ}{\sin42^\circ}\cdot\frac{\sin12^\circ}{\sin18^\circ}
&=\frac1{4\sin12^\circ\cos12^\circ}\cdot\frac{\cos36^\circ}{\sin42^\circ}\cdot\frac{\sin12^\circ}{\sin18^\circ}\\
&=\frac1{4\cos12^\circ}\cdot\frac{4\cos12^\circ\cos(60^\circ-12^\circ)\cos(60^\circ+12^\circ)}{\sin42^\circ}\cdot\frac1{\sin18^\circ}\\
&=\frac{\cos48^\circ\cos72^\circ}{\sin42^\circ\sin18^\circ}\\
&=1.
\end{align*}

现补上一种纯几法

一种纯几何法，提示如下：

作$△ACD$的外接圆交$BD$于$F$（即作$∠FAC=42°$），则$∠AFD=30°$.
将△ABF沿直线BF折叠，得△A'BF，则正△AFA'.
则由角大小关系，可得$△ABA'≅△CBA'$（SAS）.
于是$A' $为$△ACF$的外心，亦$A，F，C，D$四点共圆的圆心，下面你想怎么说，都有$30°$了……

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2013-2-18 22:47

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真心不是人做的题，又像回到当初见到这种（相对容易的题）一样迷离了......

这里的30度太TMD难用了，难怪当初只整理9题，舍弃哪些四边形中的求角的......

9# isea

反正我是放弃找那极其巧妙的平几证法了，虽然感觉美妙证法一定存在……
能用塞瓦三角法解决大部分这类题我暂时已经满足……

3# kuing

我用三角函数做了下然后列了2个方程还是不会解。。

啊法＝角ABD,被他＝角CAD...

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2013-2-18 05:46

3# kuing

我用三角函数做了下然后列了2个方程还是不会解。。

啊法＝角ABD,被他＝角CAD...

╰☆ヾo.海x 发表于 2013-2-18 05:34

应该是 啊法＝角ADB 吧？
这个方法不错哇，只利用了等腰和正弦定理，列出来的方程比我的简单且易懂，nice one! 晚点再看看怎么解简单些。

12# kuing

消去 $\beta $，得
\begin{gather*}
\frac{\sin 42^\circ}{\sin 84^\circ}=\frac{\sin \alpha }{\sin (54^\circ+108^\circ-\alpha )} \\
\frac1{2\cos 42^\circ}=\frac{\sin \alpha }{\sin (18^\circ+\alpha )} \\
\sin (18^\circ+\alpha )=2\cos (60^\circ-18^\circ)\sin \alpha \\
\sin 18^\circ\cos \alpha +\cos 18^\circ\sin \alpha =2(\cos 60^\circ\cos 18^\circ+\sin 60^\circ\sin 18^\circ)\sin \alpha \\
\cos \alpha =\sqrt3\sin \alpha \\
\alpha =30.
\end{gather*}

这样，就得到了更简单的三角方法了，多谢海x！

9# isea

反正我是放弃找那极其巧妙的平几证法了，虽然感觉美妙证法一定存在……
能用塞瓦三角法解决大部分这类题我暂时已经满足……
kuing 发表于 2013-2-18 00:00

在9楼已几何法，这里也丢个图，供参考

14# isea

就等这种平几证法，终于被你找到了恭喜

三个多星期，得闲无事时，就在纸上画画，又回头翻了翻了翻曾经整理的9道题，虽有些粗糙和笨拙，不过，基本也道出了题目关键所在。

想当初（时间飞快呀）在人教整理9题是以

角BAC=80度，角ABC=60度，角DAB=10度，角DBA=20度，求角ACD.

此题作结，因为感叹实在 longnetpro 解法中那个外心，实在妙不可言。
不曾想，对主楼的题为转化那个30度也来了个外心！
现如今 longnetpro 优美几何构造，还在深深的影响偶。

PS：

后来：zheyic 又提到本楼作结题目，（人教论坛源链接），南山菊，大脚丫子等又给出不几的解法，如南山菊的


而种种几何解法正验证了前面“胡言乱语”。

16# isea

你们都很牛……要是都多过来这边玩玩就好了

13# kuing

恩是ADB...谢酷儿给解方程了

18# ╰☆ヾo.海x

果然变厉害了

19# kuing
在这关键时刻我这个早晨已经吐了三次了。。还没吐干净还是不舒服。。