[几何] 双曲线题

_____kuing edit in $\LaTeX$_____
设 $F$ 为双曲线 $x^2/16-y^2/9=1$ 的左焦点，在 $x$ 轴上 $F$ 点的右侧有一点 $A$，以 $FA$ 为直径的圆与双曲线左、右两支在 $x$ 轴上方的交点分别为 $M$、$N$，则 $(\abs{FN}-\abs{FM})/\abs{FA}$ 的值为（  ）

方不方便配个图……
PS、本主题分类可选“几何”

答案：
$\dfrac45$，离心率的倒数：$\dfrac1e$

类似的还有椭圆，抛物线。

能不能用极坐标？两个曲线方程都好写

4#yes94兄果然是高手，请提示一下先。ps：一直很好奇yes94兄的尊姓大名，能否透露一把啊？膜拜已久呀！

貌似 $\dfrac2e$
用最常规的代数方法挺简单，可惜一时没想到几何方法，先闪了……

貌似 $\dfrac2e$
用最常规的代数方法挺简单，可惜一时没想到几何方法，先闪了……
kuing 发表于 2013-1-26 00:07

哦？
其实这道题就是用的几何方法……

哦？
其实这道题就是用的几何方法……
yes94 发表于 2013-1-26 16:31

原来我前面看错题，以为是以FA为半径，原来是直径，咳，没配图，看文字就是容易看错……直径的话那就自然是1/e了
几何方法怎么玩？最近似乎对几何没了feel

题做多了，肯定不是每天都有感觉的，有时候就不是很想做了。

10# yes94

倒没有不想做, 只是好像状态差了，前两天那个椭圆的还差点误导了你们，幸亏fox007及时解决掉了。

你有空写写解法吧，或者找到链接也行(我突然觉得好像在哪里见过, 说不定你也在)

用射影定理，（作直角三角形的斜边上的高）
然后平方差，再用第二定义，作准线垂线，立刻可得

12# yes94

原来如此，懂了

几何法还是没大看懂，用极坐标挺容易的
$\rho=\frac{ep}{1+e\cos\theta}, \rho=2r\cos\theta$，消去$\cos\theta$得到$\rho^2+\frac{2r}{e}\rho-2rp=0$
两根积是负的，两根一正一负，$|\rho_1|-|\rho_2|=|\rho_1+\rho_2|=\frac{2r}{e}$，$FA=2r$，最后就是$1/e$

14# abababa
圆的极坐标用得好！
双曲线的极坐标倒是熟知的。