[不等式] BQ的一道非对称几何不等式

在 $\triangle ABC$ 中，分别记 $w_a$, $w_b$, $w_c$ 为 $a$, $b$, $c$ 边上的内角平分线，则
\[\frac{\sqrt3(2a+c)}2\geqslant 2w_b+w_c.\]

由齐次性，不妨设 $a+b+c=1$，由内角平分线长公式、柯西不等式及均值不等式，有
\begin{align*}
2w_b+w_c&=\frac{2\sqrt{ca(c+a-b)}}{c+a}+\frac{\sqrt{ab(a+b-c)}}{a+b} \\
& \leqslant \sqrt{\left( \frac{2(c+a-b)}{c+a}+\frac{a+b-c}{a+b} \right)\left( \frac{2ca}{c+a}+\frac{ab}{a+b} \right)} \\
& \leqslant \sqrt{\left( 3-\frac{2b}{1-b}-\frac{c}{1-c} \right)\left( \frac{c+a}2+\frac{a+b}4 \right)} \\
& \leqslant \sqrt{\left( 3-\frac{(2b+c)^2}{2b(1-b)+c(1-c)} \right)\frac{3-2b-c}4} \\
& =\sqrt{\left( 3-\frac{3(2b+c)^2}{3(2b+c)-(2+1)(2b^2+c^2)} \right)\frac{3-2b-c}4} \\
& \leqslant \sqrt{\left( 3-\frac{3(2b+c)^2}{3(2b+c)-(2b+c)^2} \right)\frac{3-2b-c}4} \\
& =\sqrt{\frac94-\frac32(2b+c)} \\
& =\sqrt{\frac32(2a+c)-\frac34} \\
& =\sqrt{\frac{3(2a+c)^2}4-\frac34(2a+c-1)^2} \\
& \leqslant \frac{\sqrt3(2a+c)}2.
\end{align*}

蛮累的，弄了几个小时才证到，主要是对非对称的老鼠拉龟了，还好原不等式其实挺弱，以至于允许我大胆放缩那么多次也不过头。

1# kuing
放缩了5次！
居然还能取等号，
太奇迹了吧！

看得出 a=b=c 取等……放缩的时候系数迁就一下……