[不等式] 一个循环不等式

已知 $a$, $b$, $c$, $d$ 为正实数，证明
\begin{align*}
（1）& \left(\frac a b+\frac b c+\frac c a\right)\left(\frac b a+\frac c b+\frac a c\right)\ge(a+b+c)\left(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c\right);\\
（2）& \left(\frac a b+\frac b c+\frac c d+\frac d a\right)\left(\frac b a+\frac c b+\frac d c+\frac a d\right)\ge(a+b+c+d)\left(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c+\frac 1 d\right).
\end{align*}

两次柯西就搞定了

2# goft
怎么两次用cauchy，能详细点吗

太粗心了……

晕搞错柯西了
另法：
设原式为AB>=CD
等价于AB>=3+A+B
等价于(A-2)(B-2)>=4
而A>=3,B>=3

5# goft
$AB\ge3+A+B等价于(A-2)(B-2)\ge4 ?$

5# goft
$AB\ge3+A+B等价于(A-2)(B-2)\ge4 ?$
reny 发表于 2013-1-23 14:26

又打错，$AB\ge3+A+B等价于(A-1)(B-1)\ge4 $

7# goft
四元的话，这种方法，似乎不行吧。

昨天早上看明明是三元的，啥时候成了四元……
提个建议，顶楼加题目的话最好不要把原来的题删掉，除非还没人回贴，不然前面几楼回的是原来的题，删掉了的话别人看贴就会莫名其妙了。
PS、三元的情况之前在这里也扯过http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-957-1-1.html楼主也回过贴给了加强。

9# kuing
哦，这个贴原来见过，久了忘了。四元的应该就复杂很多吧。能不能推广到n元呢？

10# reny

四元也不是很复杂，等会写写，N元可能很难，5元我都没什么头绪。

PS、改了一下1#的输入。

\[（2）\left(\frac a b+\frac b c+\frac c d+\frac d a\right)\left(\frac b a+\frac c b+\frac d c+\frac a d\right)\ge(a+b+c+d)\left(\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c+\frac 1 d\right).\]

令 $x=a/b$, $y=b/c$, $z=c/d$, $w=d/a$，则 $x$, $y$, $z$, $w>0$ 且 $xyzw=1$，将原不等式右边展开，可以整理为
\begin{equation}\label{201301244yxhbdsjds1}
\sum x\sum \frac1x\geqslant \sum x+\sum \frac1x+(x+z)(y+w)+4,
\end{equation}
或
\begin{equation}\label{201301244yxhbdsjds2}
\left( \sum x-1 \right)\left( \frac{x+z}{xz}+xz(y+w)-1 \right)-(x+z)(y+w)-5\geqslant 0,
\end{equation}
固定 $x$, $z$，下面证明式 \eqref{201301244yxhbdsjds2} 左边关于 $y+w$ 单调递增，为此，记 $y+w=t$, $\sqrt{xz}=u$ 以及
\[
f(t)=(x+z+t-1)\left( \frac{x+z}{xz}+xzt-1 \right)-(x+z)t-5,
\]
求导得
\begin{align*}
f'(t)&=\frac{x+z}{xz}+xzt-1+xz(x+z+t-1)-x-z \\
& =2xzt+(x+z)\left( \frac1{xz}+xz-1 \right)-xz-1 \\
& \geqslant 2xzt+2\sqrt{xz}\left( \frac1{xz}+xz-1 \right)-xz-1 \\
& =2u^2t+2u\left( \frac1u-u \right)^2-(u-1)^2 \\
& =2u^2t+\frac{(u-1)^2\bigl( 2(1+u)^2-u \bigr)}u \\
& >0,
\end{align*}
于是单调性得证，注意到当 $x$, $z$ 固定时 $yw$ 也是固定的，所以式 \eqref{201301244yxhbdsjds2} 左边取最小值时必有 $y=w$，再注意到式 \eqref{201301244yxhbdsjds1} 的对称性（同时交换 $x$, $y$ 及 $z$, $w$ 时式 \eqref{201301244yxhbdsjds1} 不变），当 $y$, $w$ 固定时式 \eqref{201301244yxhbdsjds2} 左边取最小值时也必有 $x=z$，从而要证式 \eqref{201301244yxhbdsjds1}，就只要证 $x=z$ 且 $y=w$ 时即可，此时记 $x=z=v$，则 $y=w=1/v$，式 \eqref{201301244yxhbdsjds1} 化为
\[\left(2v+\frac2v\right)^2\geqslant 8-4v-\frac4v,\]
作差因式分解为
\[\frac{4(v-1)(v^3-1)}{v^2}\geqslant 0,\]
显然成立，故原不等式得证。

齐次可设a+b+c+d=4
证明：A>=C（均值不等式）,B>=D(B>=A，将a+b+c+d=4，代入D中，然后排序不等式)
即得证。AB>=CD,

13# goft
没看懂。怎么$AB\ge CD,就有A\ge C,B\ge D？$

13# goft
没看懂。怎么$AB\ge CD,就有A\ge C,B\ge D？$
reny 发表于 2013-1-24 20:50

他比较喜欢些思路，而且思路通常比较好。只是不喜欢具体的过程，所以理解起来较困难
他的意思是，欲证$AB\geqslant CD$，可以先证$A\geqslant C$，且$B\geqslant D$
只是那个排序，因为不是强对称，只是弱对称（即仅仅轮换对称），如何用排序不等式啊？

在a+b+c+d=4下，A>=D、B>=D都不是恒成立的