[函数] 函数$g(x)=\dfrac1x+\ln x$，是否$\exists x_0>0$，使下式成立？

对这类问题，如何思考，如何找到切入点？请指点。

题：函数$g(x)=\dfrac1x+\ln x.$
问：是否$\exists x_0>0$，对$\forall x>0$使得$|g(x)-g(x_0)|<\dfrac1x$成立？

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查了下，此题，一个源是，http://edu.people.com.cn/GB/116076/185875/14852237.html
2011年陕西高考数学(理)试题，最后一题最后一问。

去绝对值(分离变量)后是这个
\[\ln(x)<g(x_0)<\ln(x)+\frac{2}{x}\]
对任意$x$都成立,得到
\[max\{\ln(x) \}<g(x_0)<min\{\ln(x)+\frac{2}{x}\}\]
而这是做不到的.

去绝对值(分离变量)后是这个
\[\ln(x)
realnumber 发表于 2013-1-22 22:44

对呀对呀！


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不过，细细想想，这个有问题，前后两个$x$在不等式里，任意取值时，取值应该是相同的。

这样前后两函数的最大值与最小值并不能同时取到，其次，当$x>1,$函数都单调增加。

似乎这样不可行。


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这种问题的确很绕啊，再想想，正因为如此，从图象上说，不存在平行于$x$轴的直线在这两函数图象之间，从而直观上说，的确是不存在这样的$g(x_0)$。

很抽象，我理解理解，先

3# isea
(但是$x_0$已经固定住了,)2个不等式可以先看一个,都要成立.应该可以吧

这类题没什么兴趣的说……

PS、1#的减号似乎是全角的。

2#中就取$x=e^{x_0}$，左边显然就不行了嘛。

当年这题的参考答案也确实是无解。
另外，对于这种恒成立的问题，考虑的是x取值的全体，只能说g(x_0)比左边全部要大，比右边全部要小。

这个还用看吗，你既然要对于任意 $x$ 都成立，那就当 $x\to\infty$ 来看，$g(x_0)$ 就必须是 $g(x)$ 在正无穷处的极限，显然这个极限是不存在的。

8# 都市侠影
确实是这样。不过高中混得久了，连极限都忘记了。
不过话说回来，用初等的方法说明无解也是很简单的