[不等式] 不等式菜鸟提问

附件中的解法构造的过程是怎样的（分母16的“来历”）？

可以待定系数法，设那个16为t（做此题之前不知道t=16）。
再根据取等条件，结合已知条件得到方程组，
从而得到系数t=16

柯西：

(8.55 KB)

2013-1-22 00:00

凑配能力要求高，这样子


动笔算了下，消元直接代入求式，变成函数，巧的是通分化简后分子是2次，最直接判别式法就求出最小值$\dfrac14$

若，直接求导，会出现4次方，能知道是导函数是单调的，但求零点卡住

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

楼上的亲切多了，虽然我看不懂，哈哈

据说柯西不等可以用向量证明，不知能不能构造向量证，哈哈

4# isea

相通的东西一定可以。

5# kuing


终于看懂yes94在3楼式子的意思了，

首先，向量不等式
\begin{align*}
\vv m\cdot\vv n\le|m||n|\\
\end{align*}
成立是非常明显的。


令

\begin{align*}\vv m&=(\sqrt {x+2},\sqrt {y+1}),\\\vv n&=(\dfrac{x}{\sqrt{x+2}},\dfrac{y}{\sqrt{y+1}})\end{align*}


于是
\begin{align*}
\vv m \cdot \vv n&=(\sqrt {x+2},\sqrt {y+1})\cdot(\dfrac{x}{\sqrt{x+2}},\dfrac{y}{\sqrt{y+1}})\\
&=x+y\\
|m||n|&=\sqrt {x+2+y+1}\sqrt{\dfrac{x^2}{x+2}+\dfrac{y^2}{y+1}}\\
\vv m\cdot\vv n&\le|m||n|\\
x+y&\le\sqrt {x+2+y+1}\sqrt{\dfrac{x^2}{x+2}+\dfrac{y^2}{y+1}}\\
(x+y)^2&\le (x+2+y+1)(\dfrac{x^2}{x+2}+\dfrac{y^2}{y+1})\\
\dfrac{(x+y)^2}{x+2+y+1}&\le \dfrac{x^2}{x+2}+\dfrac{y^2}{y+1}\\
\end{align*}






不等式的确“高深”，凑配一个柯西形式不知要废了多少脑细胞……

收工，睡觉

6# isea

最后一行公式后面就不必再\\换行了

其实和上面相同,
设$x+2=p,y+1=q$,问题就为$p+q=4,(p>2,q>1)$\[\frac{(p-2)^2}{p}+\frac{(q-1)^2}{q}=\frac{4}{p}+\frac{1}{q}-2=\frac{p+q}{4}(\frac{4}{p}+\frac{1}{q})-2\]
后面略.

还有人构造概率的期望和方差来证明的：
$D(ξ)=E(ξ^2)-E^2(ξ)\ge0$

还有人构造概率的期望和方差来证明的：
$D(ξ)=E(ξ^2)-E^2(ξ)\geqslant0$
怎么发表的时候出现“未定义操作”，以为没发成功，再点了一次查看，却已发现发了两次，
遂将$\ge0$，改为$\geqslant0$，看一下效果如何

10# yes94
你的意思是用来证明1楼?好象2个没什么关联....,

10# yes94
你的意思是用来证明1楼?好象2个没什么关联....,
realnumber 发表于 2013-1-22 13:34

对，那个方差不等式可以用来证明本题，奈何打代码不是我强项，只有改天再打代码试一试。
另外还有人喜欢用，点到直线的距离，或者构造非负二次函数，判别式来证明，等等方法
实质就是柯西不等式的不同证法而已

还有人构造概率的期望和方差来证明的：
$D(ξ)=E(ξ^2)-E^2(ξ)\geqslant0$
怎么发表的时候出现“未定义操作”，以为没发成功，再点了一次查看，却已发现发了两次，
遂将$\ge0$，改为$\geqslant0$，看一下效果如何 ...
yes94 发表于 2013-1-22 13:18

ξ 用 \xi

所有希腊字母都可以用代码打，不需要切换输入法

ξ 用 \xi

所有希腊字母都可以用代码打，不需要切换输入法
kuing 发表于 2013-1-22 13:39

谢谢！
找了下你置顶的例句里没有ξ，只有其他的希腊字母，最后跑到word里的符号里复制的，

14# yes94

oh，我去补充一下。

15# kuing


别理yes94兄，这个是常识，其实，无视他，气气yes94

16# isea

借贴的名字问个问题，韩京俊那本《初等不等式的证明方法》第10页，3大于等于a+b+1/a^2+b^2+1求和 等价于 3大于等于a^3+b^3+1/a^6+b^6+1 怎么等价的，还有后面那个a^3+b^3大于等于ab（a+b）是怎么得来的？

借贴的名字问个问题，韩京俊那本《初等不等式的证明方法》第10页，$3\ge a+b+1/a^2+b^2+1$求和 等价于 $3\ge a^3+b^3+1/a^6+b^6+1 $怎么等价的，还有后面那个$a^3+b^3\ge ab(a+b)$是怎么得来的？
yayaweha 发表于 2013-1-25 17:41

$a$、$b$的条件？正数？
那个$a^3+b^3\ge ab(a+b)$，当$a$、$b$是正数时，
$a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)\ge (a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)$

扬州市第一学期期中考，就有楼主的题目。
PS，方差模型怎么弄？考虑哪两个数的方差？