[数列] 来自群的1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...构造通项

教师-槑(8355***)  16:49:18
求通项公式：
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,……


答：
\[a_{n}=\left\lceil \frac{\sqrt{8n+1}-1}{2} \right\rceil .\]

想法很简单，构造一个函数，使得对应每串相同数的最后一个位置，而且单增，然后再向上取整就行了。
具体地，记最后一个 $k$ 在该数列中的第 $f(k)$ 项中，那么 $f(1)=1$，$f(2)=3$，$f(3)=6$ 等等，容易求出
\[f(k)=\frac{k(k+1)}{2},\]
故我们要构造的是使 $a_{k(k+1)/2}=k$ 的单增函数（数列），令 $n=k(k+1)/2$，反解出
\[k=\frac{\pm\sqrt{8n+1}-1}{2},\]
显然应取正者，然后向上取整，即得
\[a_{n}=\left\lceil \frac{\sqrt{8n+1}-1}{2} \right\rceil .\]

类似地，构造对应于数字串的第一个位置，然后向下取整也可以，得到另一表达式。
记第一个 $k$ 在该数列中的第 $g(k)$ 项中，那么 $g(1)=1$，$g(2)=2$，$g(3)=4$，$g(4)=7$ 等等，容易求出
\[g(k)=\frac{k(k-1)}{2}+1,\]
故我们要构造的是使 $b_{k(k-1)/2+1}=k$ 的单增函数（数列），令 $n=k(k-1)/2+1$，反解出
\[k=\frac{\pm\sqrt{8n-7}+1}{2},\]
显然应取正者，然后向下取整，即得
\[b_{n}=\left\lfloor \frac{\sqrt{8n-7}+1}{2} \right\rfloor .\]

嗯，这玩意儿就在 $\sqrt{2n}$ 附近飘
\[a_n=Round(\sqrt{2n})=Round(\sqrt{2n-1})\]

http://oeis.org/A002024

3# ①②③④⑤⑥⑦


呃，Round 是什么
四舍五入？
还是五舍六入？

4# kuing

四舍五入

有“五舎六入”？我咋没听说捏？只知道“四舎六入五单双”，其实是超过一半的入，不到一半的舍，正好一半的靠偶数，也就是恰好0.5才看单双，整数开根不会恰好是0.5的小数，这里的Round是四舍五入还是五单双都没啥区别

5# ①②③④⑤⑥⑦


呃，其实我意思也就是指0.5是入还是不入，所以才随口说了五舍六入

6# kuing

哦，那么这里没区别的，写Round因为印象中没有什么比较通用的符号，切换为取整不如直接用Round爽快

Excel、几何画板等的Round是四舍五入
Mathematica、VB等的Round，0.5是向偶数靠的

7# ①②③④⑤⑥⑦


嗯，在Mathematica7里试了试的确如此

In[1]:= Table[Round[x + 0.5], {x, -6, 6}]

Out[1]= {-6, -4, -4, -2, -2, 0, 0, 2, 2, 4, 4, 6, 6}

用Round函数表达式好简单

这这这……解法！

这解法太厉害了。