[几何] 来自人教群的椭圆内接过焦点平行四边形面积

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2013-1-21 15:17

如图，将椭圆拉伸成圆，则平行四边形变成矩形，两焦点位置不变，矩形仍然要过该两点。

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2013-1-21 15:17

设原来平行四边形的面积为 $S$，拉伸后变成的矩形的面积为 $S'$，则 $S:S' = b:a$。

注意到 $A'B'$ 的取值范围是 $[2b,2a)$，所以：

（1）若 $2b\leqslant \sqrt2a$，则 $A'B'$ 在变化时能使矩形达到正方形，而圆内接四边形中以正方形面积最大，所以此时 $S'$ 最大值为 $2a^2$；

（2）若 $2b>\sqrt2a$，则由 $S'=A'B'\cdot\sqrt{(2a)^2-(A'B')^2}$，可知此时 $S'$ 关于 $A'B'$ 递减，于是 $S'$ 的最大值为 $2b\cdot\sqrt{(2a)^2-(2b)^2}$，即 $4bc$。

还原为椭圆的情形，即：若 $e\geqslant1/\sqrt2$，则 $S_{\max}=2ab$；若 $e<1/\sqrt2$，则 $S_{\max}=4b^2e$。

爱好者-何万程(1785***)  16:43:58
那个椭圆问题，设过焦点的一边与椭圆相交于点(x1,y1)，(x2,y2)，那么四边形面积就是2c|y1-y2|，设直线方程y=k(x-c)，后面用韦达定理很容易了

想一块去了，不过，我是从对角线出发的，在圆的情况下，显然对角线垂直时……

我转过去链接

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原来还有推广，厉害