[函数] 问题2：应该能和函数挂勾……

若$m,n$均为实数，且$m^3-3m^2+5m=1,n^3-3n^2+5n=5$，求$m+n$的值为_______.

强解如下，记$m+n=a,mn=b$，
将已知两式相加：
$m^3+n^3-3(m^2+n^2)+5(m+n)=6\\
a(a^2-3b)-3(a^2-2b)+5a-6=0\\
a^3-3a^2+5a-6-3ab+6b=0\\
$
强制分解因式：
$a^3-3a^2+5a-6-3ab+6b=0\\
(a^3-2a^2)-(a^2-2a)+(3a-6)-(3ab-6b)=0\\
(a-2)(a^2-a+3-3b)=0\\
$

再将$m+n=a,mn=b$反代回$a^2-a+3-3b$，配方说明此式不为零，从而$a=2$.



这方法太麻烦，看看大家有没好办法。

怎么中间会有全角括号？

2# kuing


这都看出来了，厉害，极点中文下输入的，回车上编码形成的

http://bbs.pep.com.cn/thread-334853-1-1.html
http://bbs.pep.com.cn/thread-388644-1-1.html
http://bbs.pep.com.cn/thread-423694-1-1.html
http://bbs.pep.com.cn/thread-500410-1-1.html
http://bbs.pep.com.cn/thread-520012-1-1.html
http://bbs.pep.com.cn/thread-303211-1-1.html

4# kuing


果然是陈得不行的老题，在一张高三模拟卷上看到了。

多谢k

参考以上链接解法

其实就是说三次函数是中心对称的（就像二次函数是轴对称一样）。

设$f(x)=x^3-3x^2+5x$，
条件变为$f(m)=1，f(n)=5$.

对于$f(x)=x^3-3x^2+5x$有$f''(x)=6x-6$，
令$f''(x)=0$，有$x=1$，
从而$f(1)=1-3+5=3$，

即$(1,3)$为$f(x)=x^3-3x^2+5x$对称中心，从而

$\dfrac{f(2-m)+f(m)}2=3\\
f(2-m)=6-f(m)=5=f(n)\\
$

又易得$f'(x)>0$，即$f(x)$在$R$上单调函数，于是

$2-m=n\\
m+n=2\\
$

用点对称，痛快，痛快……

即将要出的第11期数学空间有提及此题……

即将要出的第11期数学空间有提及此题……
kuing 发表于 2013-1-20 20:19

期盼……