与椭球面有关的问题

由椭球面S：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$的中心引三条互相垂直的射线，分别交S于点$P_1$、$P_2$、$P_3$.
设$|\overrightarrow{OP_i}|=r_i$    (i=1,2,3). 证明
\[\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\]

由椭球面S：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$的中心引三条互相垂直的射线，分别交S于点$P_1$、$P_2$、$P_3$.
设$|\overrightarrow{OP_i}|=r_i$    (i=1,2,3). 证明
\[\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\]
图图 发表于 2011-10-17 00:54

首先我们有如下两个事实：
一、上述命题的平面情形成立（即对平面椭圆或圆成立）。
这是高中证过的，这里从略；
二、若椭球与某平面相交，则交线为椭圆（此处暂且认为圆也为椭圆）。
设椭球方程 $ax^2+by^2+cz^2=1$ 与平面方程 $Ax+By+Cz+D=0$ 相交，不妨设 $C\ne0$，消去 $z$ 有
\[
C^2(ax^2+by^2)+c(D+Ax+By)^2=C^2,
\]上式为交线在 $xOy$ 平面的投影方程，由于交线显然为封闭图形，且由 $C\ne0$ 知交线所在平面不与 $xOy$ 平面垂直，故此上式必为椭圆方程，而投影不改变二次曲线的类型，因此交线也必为椭圆。

有了这两个事实，就可以证明这空间推广了。

在空间直角坐标系中，对于过原点的三条互相垂直的射线，不妨记为 $L_1$、$L_2$、$L_3$，若固定其中一条 $L_1$，旋转另外两条 $L_2$、$L_3$（旋转过程中保持三条射线的相对位置不变，下同），那么 $L_2$、$L_3$ 恒在过原点且垂直于 $L_1$ 的平面内。由事实二，该平面与椭球的交线为一椭圆，该椭圆与 $L_2$、$L_3$ 相交于 $P_2$、$P_3$，那么在该平面内的情形正符合事实一，所以，在旋转过程中，$1/r_2^2+1/r_3^2$ 保持不变，而 $L_1$ 固定所以 $r_1$ 固定，即 $1/r_1^2+1/r_2^2+1/r_3^2$ 也不变。
又显然地，旋转过程中总可以将 $L_2$ 或 $L_3$ 旋转到其中一个坐标平面上，不妨将 $L_2$ 旋转到平面 $xOy$ 上，然后固定 $L_2$，旋转 $L_1$、$L_3$，类似地，也可以将 $L_1$ 或 $L_3$ 之一旋转到平面 $xOy$ 上，不妨将 $L_1$ 旋转到平面 $xOy$ 上，那么 $L_3$ 必然与 $z$ 轴重合，再固定 $L_3$，也必能将 $L_1$、$L_2$ 旋转到与 $x$、$y$ 坐标重合，此时 $P_1$、$P_2$、$P_3$ 就是椭球的三个顶点，即显然有 $1/r_1^2+1/r_2^2+1/r_3^2=1/a^2+1/b^2+1/c^2$，再根据上述过程的任意性及旋转对 $1/r_1^2+1/r_2^2+1/r_3^2$ 的不变性，可知原命题成立。

这种证法是不是有点非主流？

有没有代数证法？图图？

我不知道怎么表示，但感觉用球坐标系会简单点吧

5# GAM


嗯？可以的话大致写写过程哟

没想到那三条线的角怎么表示

7# GAM

空间中的角的情形比平面复杂很多的说。。。垂直那里我除了用数量积表示之外也没其他想法了。。。

本来以为用式子最后能贷出来，最后失败了。。。

很简单 但是laxt不熟悉 利用矩阵正交变换之后相加就可以了

有空补矩阵去…………

这是参考答案
设$OP_i$与x,y,z轴的夹角的余弦值分别为$\lambda_i$,$\mu_i$,$\nu_i$(i=1,2,3),由于$OP_i$(i=1,2,3)两两垂直，可以把他们看成长方体中的边，而把三个坐标轴看成长方体中的对角线，从而有$\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\lambda_i^2=\sum_{i=1}^{3}\mu_i^2=\sum_{i=1}^{3}\nu_i^2=1$,因为$\dfrac1{r_i^2}=\dfrac{\lambda_i^2}{a^2}+\dfrac{\mu_i^2}{b^2}+\dfrac{\nu_i^2}{c^2}$(i=1,2,3),
故$\dfrac1{r_1^2}+\dfrac1{r_2^2}+\dfrac1{r_3^2}=\dfrac1{a^2}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\lambda_i^2+\dfrac1{b^2}\sum_{i=1}^{3}\mu_i^2+\dfrac1{c^2}\sum_{i=1}^{3}\nu_i^2=\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}+\dfrac1{c^2}$

实际上，只要先证明如下命题即可（猜测教材在楼主所提的问题前会有这道题）：
设$P$是椭球面S：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$上任意一点，$\overrightarrow{OP}$的方向余弦为$\lambda$，$\mu$，$\nu$，$|\overrightarrow{OP}|=r$. 则有
\[\frac{\lambda^2}{a^2}+\frac{\mu^2}{b^2}+\frac{\nu^2}{c^2}=\frac{1}{r^2}\]

很简单 但是laxt不熟悉 利用矩阵正交变换之后相加就可以了
tian27546 发表于 2011-10-19 14:40

遗憾的是，在这道题被教材安排在“向量”这一章，在此之前还没有讲述“正交变换”的内容。

又见鱼儿，