[不等式] 粉丝群提到的一道三元轮换分式根式不等式

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2013-1-17 21:44

这里证明稍一般的情况，令
\[
f(t)=\sum{\sqrt{\frac{a^2+t}{b^2+t}}},
\]
我们将证明 $f(t)$ 单调递减。求导得
\[
f'(t)=\sum{\frac{b^2-a^2}{2(b^2+t)\sqrt{(a^2+t)(b^2+t)}}},
\]
于是
\begin{align*}
f'(t)\leqslant 0&\iff\sum{\frac{\bigl(a^2+t-(b^2+t)\bigr)\sqrt{c^2+t}}{(b^2+t)}}\geqslant 0 \\
& \iff\sum{\frac{(a^2+t)\sqrt{c^2+t}}{(b^2+t)}}\geqslant \sum{\sqrt{c^2+t}},
\end{align*}
令 $\sqrt{a^2+t}=x$, $\sqrt{b^2+t}=y$, $\sqrt{c^2+t}=z$，则等价于证
\[
\sum{\frac{x^2z}{y^2}}\geqslant \sum x,
\]
配凑系数，上式等价于
\[
\sum{\left( \frac6{13}\cdot \frac{x^2z}{y^2}+\frac5{13}\cdot \frac{y^2x}{z^2}+\frac2{13}\cdot \frac{z^2y}{x^2} \right)}\geqslant \sum x,
\]
由加权均值即得
\begin{align*}
\frac6{13}\cdot \frac{x^2z}{y^2}+\frac5{13}\cdot \frac{y^2x}{z^2}+\frac2{13}\cdot \frac{z^2y}{x^2}&\geqslant x^{2\times 6/13+5/13-2\times 2/13}y^{-2\times 6/13+2\times 5/13+2/13}z^{6/13-2\times 5/13+2\times 2/13}\\
&=x,
\end{align*}
因此单调性得证，从而由 $f(0)\geqslant f(1)$ 即得原不等式。