[不等式] 昨晚人教群里提起的另一道有顺序根式不等式

已知 $0<a\leqslant b\leqslant c$，求证
\[\sqrt{\frac{a}{a+2b}}+\sqrt{\frac{b}{b+2c}}+\sqrt{\frac{c}{c+2a}}\leqslant \sqrt3.\]

据说也是安振平的，不过我没什么印象，可能后期我没关注了。

由柯西不等式有
\begin{align*}
\sum{\sqrt{\frac{a}{a+2b}}}&\leqslant \sqrt{\sum{(c+2a)}\cdot \sum{\frac{a}{(a+2b)(c+2a)}}} \\
& =\sqrt{3(a+b+c)\cdot \frac{\sum{a(b+2c)}}{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}} \\
& =\sqrt{\frac{9(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}},
\end{align*}
所以只要证
\[
3(a+b+c)(ab+bc+ca)\leqslant (a+2b)(b+2c)(c+2a),
\]
展开分解即为
\[
(a-b)(b-c)(c-a)\geqslant 0,
\]
显然成立，故得证。

这个解答很妙！！！