[不等式] 昨晚人教群里提起的一道正整数不等式（实为早前安振平的某征解题）

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2013-1-15 11:17

当年好像一开始没想出来，后来不知为什么就丢下没理了。昨晚人教群里被再次提起，刚才想了一下其实还蛮简单？看来当年应该是心情欠佳了……

令
\[f(a_1,a_2,\ldots,a_n)=a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3-\frac{n(n+1)}2(a_1+a_2+\cdots+a_n),\]
其中各 $a_i$ 为互不相等的正整数。
首先有必要略为说明一下 $f(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ 存在最小值，虽然比较显然，不过还是提一下比较好。
对于每个确定的 $n$，当任一 $a_i$ 充分大时，由于 $a_i^3$ 比 $a_i$ 高阶，所以 $f$ 也会充分大，而当所有 $a_i$ 都不充分大时，$f$ 取有限个值，其中必有最小者，所以最小值存在。

下面证明 $f(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ 取最小值时必然是 $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}=\{1,2,\ldots,n\}$ 时。
若不然，则必存在某个 $a_k$ 使得 $a_k\geqslant n+1$，并且存在 $m$（$1\leqslant m\leqslant n$）使得所有的 $a_i$ 都不等于 $m$，于是
\begin{align*}
f(\ldots,a_k,\ldots)-f(\ldots,m,\ldots)&=a_k^3-m^3-\frac{n(n+1)}2(a_k-m)\\
&=(a_k-m)\left(a_k^2+a_km+m^2-\frac{n(n+1)}2\right)\\
&\geqslant (n+1-m)\left((n+1)^2+(n+1)m+m^2-\frac{n(n+1)}2\right)\\
&=(n+1-m)\left(\frac12(n+1)(n+2)+(n+1)m+m^2\right)\\
&> 0,
\end{align*}
可见将 $a_k$ 变成 $m$ 后 $f$ 更小，所以仅当 $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}=\{1,2,\ldots,n\}$ 时 $f$ 取最小值，易见为 $0$，所以原不等式得证。

1# kuing


有米有一招秒的办法？

呃，其实1#的几乎算是一招秒吧，只不过我为了严格起见所以写得有点哆嗦。呵呵。
你也来想想吧，连续变量的玩多了，来玩玩离散

本题可以加强为：
               

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2013-1-15 19:38

猜测他是在某书上看到了这个不等式才给出的加强，实际上他的什么“23个优美不等式”，被很多人几下子就证明出来了。

本题可以加强为：
                741
猜测他是在某书上看到了这个不等式才给出的加强，实际上他的什么“23个优美不等式”，被很多人几下子就证明出来了。
yes94 发表于 2013-1-15 19:38

取等号的时候，就是一道常见的数列题：
已知正项数列{$a_n$}满足：

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2013-1-15 19:42

，求数列{$a_n$}的通项公式。
   答案：$a_n=n$

嗯，1#的证法仍然可用。

记
\[g(a_1,a_2,\ldots,a_n)=a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3-(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2,\]
$g$ 存在最小值就不哆嗦了，假设取最小值时 $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}\ne\{1,2,\ldots,n\}$，不妨设 $a_n=\max\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$，则必有 $a_n\geqslant n+1$，并且存在 $m$（$1\leqslant m\leqslant n$）使得所有的 $a_i$ 都不等于 $m$，注意到
\begin{align*}
a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}&\leqslant a_n-1+a_n-2+\cdots +a_n-(n-1) \\
& =(n-1)a_n-\frac{n(n-1)}2,
\end{align*}
于是
\begin{align*}
g(\ldots ,a_n)-g(\ldots ,m)&=a_n^3-m^3-(a_n-m)(2a_1+2a_2+\cdots +2a_{n-1}+a_n+m) \\
& =(a_n-m)\bigl(a_n^2+(a_n+m)(m-1)-2(a_1+a_2+\cdots +a_{n-1})\bigr) \\
& \geqslant (a_n-m)\bigl(a_n^2+(a_n+m)(m-1)-2(n-1)a_n+n(n-1)\bigr) \\
& =(a_n-m)\bigl((a_n-n)(a_n-n+2)+n+(a_n+m)(m-1)\bigr) \\
& >0,
\end{align*}
可见将 $a_n$ 变成 $m$ 后 $g$ 更小，所以仅当 $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}=\{1,2,\ldots,n\}$ 时 $g$ 取最小值，易见为 $0$，所以原不等式得证。

PS1、安振平较早期的那些征解题我大多看过，也秒过不少，后期就没怎么关注了，是偏易了点，比较适合大众。
PS2、用附件发图，引用的时候就会出现5#的情形……打代码就不会了（代码又一好处）。

6# kuing
"是偏易了点，比较适合大众"
怀疑是不是故意这样,所谓"曲高和寡",人多才热闹.

7# realnumber

那要问一下他本人才知道了……

直接数归嘛

9# Gauss门徒

没归出来……写写看……

10# kuing
还有那个加强呢？

10# kuing

Let$(b_1,b_2,...b_{n})$ be a permutation of $(1,2,...,n)$

We assume that \[\sum_{i=1}^{k}(b_{i}+x_{i})^3+\sum_{j=k+1}^{n}b_{j}^3\geqslant \left(\sum_{1}^{n}n+\sum_{m=1}^{n} b_{m}\right)^2\]

And then we apply induction for $k$.

12# Gauss门徒
好简略！还是英文，看不懂啊

Let$(b_1,b_2,...b_{n})$ be a permutation of $(1,2,...,n)$

We assume that \[\sum_{i=1}^{k}(b_{i}+x_{i})^3+\sum_{j=k+1}^{n}b_{j+1}^3\geqslant \left(\sum_{1}^{n}n+\sum_{m=1}^{n} b_{m}\right)^2\]

And then we apply induction for $k$.
Gauss门徒 发表于 2013-4-23 00:59

$x_i$ 是神马？第二项的下标为什么是 $j+1$ 而不是 $j$？

10# kuing


我修改好了，你再看看

15# Gauss门徒
搞得完整点嘛！要不然又要动笔想，好麻烦啊

一点都看不懂仍然……

什么时候我写一下那本书上的过程，不过看上去也够烦的

18# yes94

什么书?

19# kuing
叶军