[函数] 在人教论坛未有具体过程一个非周期函数的证明

本帖最后由 isea 于 2013-1-14 23:45 编辑

原帖：http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2646542
原帖里，其实5楼的链接已经给出了一般情况，及严格的证明。

这里，来看看8楼$y=\sin x+\sin {\pi x}$这个具体的例子，用已有的三角函数知识如何来证明不是周期函数。

题目：求证：函数$y=\sin x+\sin {\pi x}$不是周期函数。

证明：反证法，假设此函数是周期函数，设$T$为其周期，则
$\sin (x+T)+\sin {\pi (x+T)}=\sin x+\sin {\pi x}…………（*）\\
\sin (x+T)-\sin x=\sin {\pi x}-\sin {\pi (x+T)}\\
2\cos \dfrac{x+T+x}{2}\sin {\dfrac{x+T-x}{2}}=2\cos \dfrac{\pi x+\pi (x+T)}{2}\sin \dfrac{\pi x-\pi (x+T)}{2}…………（1）\\
$

这里用到了差化积公式，其实就是正弦和与差公式的变式，即
$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y \\
\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$
两式相减，
$\sin (x+y)-\sin (x-y)=2\cos x\sin y$
再代换成上式中（目标）角即可。

回到正题，将（1）继续化简一下
$\cos ({x}+\dfrac T2)\sin \dfrac{T}{2}=\cos (\pi x+\dfrac{\pi T}{2})\sin (-\dfrac{\pi T}{2})$

令${x}+\dfrac T2=\dfrac{\pi}{2}$，则有
$0=\cos (\pi (\dfrac{\pi}{2}-\dfrac T2)+\dfrac{\pi T}{2})\sin (-\dfrac{\pi T}{2})\\
-\cos (\dfrac{\pi^2}{2})\sin (\dfrac{\pi T}{2})=0\\
\sin (\dfrac{\pi T}{2})=0\\
\dfrac{\pi T}{2}=k\pi\\
T=2k\\$
代回（*）式，则
$\sin (x+2k)+\sin {\pi (x+2k)}=\sin x+\sin {\pi x}\\
\sin (x+2k)=\sin x\\$
令$x=0$，则有
$\sin 2k=0\\
2k=m\pi
$

亦是说

$\pi=\dfrac {2k}{m}$

而这里$k$与$m$均为整数，从而矛盾……

本主题由 kuing 于 2013-1-19 15:08 分类