[几何] 2011联赛A卷二试1平几
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2011-10-16 22:12
下面为方便书写，记 $AB=x,BC=y,CD=z,DA=w,AC=t,BD=u$，再记对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于 $K$。我们找一个那两个角相等的等价条件。
（1）当 $K$ 与 $P$ 不重合时，由角分线定理及面积公式等，易得如下等价关系
\[\angle BPA=\angle DPA\iff \frac{PB}{PD}=\frac{KB}{KD}\iff \frac{PB}{PD}=\frac{S_{\triangle BAC}}{S_{\triangle DAC}}\iff \frac{PB}{PD}=\frac{BA\cdot BC}{DA\cdot DC},\]
对最后一式两边平方，再用中线长公式，等价于
\[\frac{2x^{2}+2y^{2}-t^{2}}{2w^{2}+2z^{2}-t^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}w^{2}},\]
再利用圆内接四边形对角线长公式
\begin{align}
t^{2}&=\frac{(wx+yz)(xz+yw)}{xy+zw}, \\
u^{2}&=\frac{(xy+zw)(xz+yw)}{wx+yz},
\end{align}
代入后去分母因式分解整理，等价于
\[(wy-xz)(wx-yz)=0,\]
如果 $wx-yz=0$，那么将有 $S_{\triangle ABD}=S_{\triangle CBD}$，则必有 $AK=CK$，于是 $K$ 就与 $P$ 重合，与原设不符，所以此时最终等价式为
\[wy=xz;\]
（2）当 $K$ 与 $P$ 重合时，即 $AC$、$BD$ 交于 $AC$ 的中点 $P$，又
\[\angle BPA=\angle DPA\iff \angle BKA=\angle DKA\iff AC\perp BD,\]
即 $BD$ 垂直平分 $AC$，即此时的等价式为
\[x=y~且~z=w.\]
同理，当 $K$ 与 $Q$ 不重合时，待证的 $\angle AQB=\angle CQB$ 也等价于
\[wy=xz,\]
当 $K$ 与 $Q$ 重合时，待证的 $\angle AQB=\angle CQB$ 等价于
\[w=x~且~y=z.\]
这样，若 $K$ 与 $P$、$Q$ 都不重合时，两等价式相同，命题显然成立；若 $K$ 与 $P$ 重合但不与 $Q$ 重合，那么有 $x=y$ 且 $z=w$，也满足 $\angle AQB=\angle CQB$ 的等价式 $wy-xz=0$，命题成立；若 $K$ 与 $Q$ 重合但不与 $P$ 重合，那么有 $wy-xz=0$，但由 $K$ 与 $Q$ 重合又有 $S_{\triangle BAC}=S_{\triangle DAC}\iff xy=zw$，由此得 $w=x$ 且 $y=z$，命题成立；当 $K$、$P$、$Q$ 都重合时，$AC$、$BD$ 必为两互相垂直的直径，命题也成立。
综上所述，原命题成立。
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本主题由 kuing 于 2013-1-19 16:16 分类
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