顶一下

顺便做个简单的
第96 题

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2013-5-15 22:02

注意到 $$ \frac{a^3b^2}{a+b}=\frac{a^2b^2(a+b)-a^2b^3}{a+b}$$
于是，不等式变成
\[ \sum_{cyc}{\frac{a^5+a^2b^3}{a+b}}\geq \sum{a^2b^2} \]
而 $$ \frac{a^5+a^2b^3}{a+b}=\frac{a^2(a^3+b^3)}{a+b}=a^2(a^2-ab+b^2) $$
故不等式变成
\[ a^4+b^4+c^4\geq a^3b+b^3c+c^3a \]
显然。

23# pxchg1200
这些变形技巧太牛啦！

再玩一个

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2013-5-15 22:09

证明
由 AM-GM,
\[ \frac{a^{11}}{bc}+abc\geq 2a^6 \]
这样，
\[ \sum{ \frac{a^{11}}{bc}}\geq 2\sum{a^6}-3abc \]
故只要证明
\[ 3\sum{a^6}+\frac{6}{a^2b^2c^2}\geq 9+6abc \]
而由AM-GM则有
\begin{equation}
  2\sum{a^6}+\frac{6}{a^2b^2c^2}\geq 6a^2b^2c^2+\frac{6}{a^2b^2c^2}\geq 12
\end{equation}
同时又有
\begin{equation}
  \sum{a^6}+3\geq 6abc
\end{equation}
把上面2个相加，结论显然。

25# pxchg1200

竟然有这么弱的……形式粹纯吓人啊

25# pxchg1200


再水一个

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2013-5-15 22:12

证明:不等式等价于
\[ (5a+b)(5b+c)(5c+a)\leq 27(a+b)(b+c)(c+a) \]
展开AM-GM显然。

26# kuing


呵呵，有的很弱的
继续水

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2013-5-15 22:20

证明
不等式等价于
\[ 74\sum{a^4bc}-34abc\sum{a^2(b+c)}-78a^2b^2c^2+37\sum{a^4(b^2+c^2)}-54\sum{a^3b^3}\geq 0 \]
由米尔黑德定理
\[  68\sum{a^4bc}\geq 34abc\sum{a^2(b+c)} \]
\[  27\sum{a^4(b^2+c^2)}\geq 54\sum{a^3b^3}\]
剩下的就AM-GM咯！