[不等式] 这个不知道放这里合适么

设序列$\{x_{n}\}$满足$a_{m+n}\leq a_{m}+a_{n}$其中$m,n\in N^{+}$ 证明:\[ \sum_{k=1}^{n}{\frac{a_{k}}{k^2}}\geq \frac{a_{n}\ln{n}}{4n} \]
(proposed by tian27546)

回复标题: 如果解决办法基本上不是初等的话…

2# kuing


由于不会做，所以不知道用了啥东东呢。。

没有非负条件?

5# kuing


没有啊

那如果全是正的成立，变成全是负不就反向了

6# kuing


再次确认了下，题目没问题。

觉得kuing是对的,$a_n=-n$满足条件,但不等式反向
下面这样行不?
我就当作正项数列处理了,记\[f(a_1,a_2,...,a_n)= \sum_{k=1}^{n}{\frac{a_{k}}{k^2}}-\frac{a_{n}\ln{n}}{4n} \]
固定$a_1,...,a_{n-1}$,看作$a_n$的一次函数,由条件$a_n\le a_{n-1}+a_1$($a_n$的实际范围可能更小,比如$a_n\le a_{n-2}+a_2$),
只需要证明$a_n=a_{n-1}+a_1$以及$a_n=0$成立(一次函数,对应的图象是线段,只需要线段两端点代入,后者显然成立).
当$a_n=a_{n-1}+a_1$时,固定$a_1,...,a_{n-2}$,由条件$a_{n-1}\le a_{n-2}+a_1$
只需要证明$a_{n-1}=a_{n-2}+a_1$以及$a_{n-1}=0$成立即可.
.....
如此本题只需要证明,当$a_n=a_{n-1}+a_1=a_{n-2}+2a_1=...=na_1$成立即可.
此时\[\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\geq \frac{\ln{n}}{4} \]
显然成立.

那个tian27546的题80%都暴难，根本都不敢看。

是的,偶尔才能发现个简单的,上面如果加条件"正项数列"
8楼证明对吗?