[不等式] 3元6次的怎么玩

Let $a,b,c$ be real numbers,prove that:
\[ 4(a^6+b^6+c^6)+5(a^5b+b^5c+c^5a)\geq 0 \]

不知道上面那个和这个Le Hai的不等式有什么关系
Let $a,b,c$ be real numbers,with $a+b+c=0 $ and $a^2+b^2+c^2=3$，show that
\[ a^5b+b^5c+c^5a\leq -3 \]

1# pxchg1200


经过很多尝试，我发现了下面更强不等式:
\[  4(a^6+b^6+c^6)+5(a^5b+b^5c+c^5a)\ge\frac{(a+b+c)^6}{27} \]
但证明成了问题
BQ说这个也成立
\[ 4(a^6+b^6+c^6)+5(a^5b+b^5c+c^5a)\geq \frac{1}{3}(ab+bc+ca)^2(a+b+c)^2 \]

2# pxchg1200

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2013-1-19 18:07

:O

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2013-1-19 18:08

:O :O :O

这样看上去难度不是一个级别……

5# kuing


There exist a nice CS proof for $ \sum{a^2b}$...

我是说看了4#发现1#和2#的相差很远，所以应该没什么联系，难度也不是一个级别……

7# kuing


计算了下,按刚刚那样的替换
\[ \sum{a^4b}=\frac{15}{8}\sqrt{2}\cos{3t}-\frac{9}{8}\sqrt{6}\sin{3t} \]

\[ \sum{a^3b}=-\frac{9}{4} \] ?!

\[ \sum{a^2b}=\frac{3\sqrt{2}}{4}\cos{3t}-\frac{3\sqrt{6}}{4}\sin{3t} \]
\[ \sum{a^6b}=\frac{63\sqrt{2}}{16}\cos{3t}-\frac{27\sqrt{6}}{16}\sin{3t} \]

8# pxchg1200

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2013-1-25 10:58

严文兰老师给出了AM-GM proof   围观中。。。

9# pxchg1200

我更加感兴趣的是你那个加强式，因为有(1,1,1)取等

咦，原来你更新了3#（BQ's 加强）看来也是有(1,1,1)取等

10# kuing


强配很难啊
三次方的有
$ \sum{a^3}$
$\sum{a^2b}$
$\sum{ab^2}$
$abc$
要设系数的话有10个呢。。。

12# pxchg1200

嗯，所以我前几天也没待出来，暂且搁置……

11# kuing


BQ那个软件灌水dang,那个加强比$ \frac{1}{27}(a+b+c)^6$还弱。

13# kuing


能否pqr？

15# pxchg1200

按我们之前搞的那些顶多处理到5次……

16# kuing


能不能改进下，让6次以上的都有用？  
比如，所有的都可以变成 $F(a,b,c)+G(a,b,c)\cdot (a-b)(b-c)(c-a)$
能否估计下 $ (a-b)(b-c)(c-a)$ ?