[函数] 有关极值问题(似乎是高三模拟试题)

已知函数$f(x)=x^3+3ax^2+6bx$的两个极值$x_1,x_2$满足$x_1\in{[-1,0]}$,$x_2\in{[1,2]}$,求f$(x_2)$的最大值与最小值的和.

没想到你对这种题都有兴趣……我一般是懒得看的
不过既然发在这里还是看了一下，其实还蛮简单？
依题意可设 $f'(x)=3(x-x_1)(x-x_2)$，然后求不定积分并确定常数（也可以对原来给出的式子求导对比系数求出 $a$, $b$），易得
\[f(x)=x^3-\frac32(x_1+x_2)x^2+3x_1x_2x \riff f(x_2)=\frac12x_2^2(3x_1-x_2),\]
然后由所给的范围即得
\begin{align*}
f(x_2)&\geqslant \frac12x_2^2(-3-x_2)\geqslant -10, \\
f(x_2)&\leqslant \frac12x_2^2(-x_2)\leqslant -\frac12.
\end{align*}

PS、\in 后面不需要花括号

那群里那位初二的小朋友还蛮厉害的诶。

2# kuing
这种题我也不是很想看，学习一下代码输入，
已知函数$f(x)=x^3+3ax^2+6bx$的两个极值$x_1,x_2$满足$x_1\in[-1,0]$，$x_2\in[1,2]$,求$f(x_2)$的最大值与最小值的和.

2009年全国一卷压轴题改编，kuing解法很酷！

已知函数$f(x)=x^3+3ax^2+6bx$的两个极值$x_1，x_2$，满足$x_1\in[-1,0]$，$x_2\in[1,2]$，求$f(x_2)$的最大值与最小值的和.
realnumber 发表于 2013-1-13 20:05

是2009全国卷Ⅰ理试题，

2009年全国一卷压轴题改编，kuing解法很酷！
zwl1972 发表于 2013-1-13 21:16

我刚刚找到，发表了就看见你发表的了！
设函数$f(x)=x^3+3bx^2+3cx$的两个极值点$x_1，x_2$，且$x_1\in[-1,0]$，$x_2\in[1,2]$，（2）证明$f(x_2)$的最大值与最小值分别是$-10$和$-\frac12$

想不到你们这么快啊!!,只能发部分结果$h(a,b)=f(x_2)=(4b-2a^2)(-a+\sqrt{a^2-2b})-2ab$,可行域见附件
其实不太感兴趣,觉得一帮高手讨论得很热烈,是不是有什么问题,就发过来了.

我也没想到洗了个澡回来竟然多了那么多的回复感谢大家对本论坛的支持

想不到你们这么快啊!!,只能发部分结果$h(a,b)=f(x_2)=(4b-2a^2)(-a+\sqrt{a^2-2b})-2ab$,可行域见附件
其实不太感兴趣,觉得一帮高手讨论得很热烈,是不是有什么问题,就发过来了.
realnumber 发表于 2013-1-13 21:29

这样做麻烦，选择一个合适的东东做变量很重要……
话说，这题居然会有“一帮高手讨论得很热烈”？

其实他们讨论前,韩安静老师就指出象你这样证明的大方向了.可能是思路,没有过程,都忽视.

难道是不等式群？？

恩,其实高手并不在乎无理式,严文兰老师的一个证明

(51.82 KB)

2013-1-13 23:30

13# realnumber
我把原高考题标答贴出来吧

(106.32 KB)

2013-1-13 23:52

严文兰做的结果和Kuing做的结果不一样，一个是$-10.5$,另一个$-10$.

15# pengcheng1130
严文兰老师的区域算错了一个点(他自己说过);不影响方法.

谢谢！