悠闲数学娱乐论坛 » 初等数学讨论 » 2011联赛A卷一试4三角不等式$\cos^5x-\sin^5x <7(\sin^3x-\cos^3x)$

管理员

UID: 1
帖子: 3992

1^#

发表于 2011-10-16 16:53

[不等式] 2011联赛A卷一试4三角不等式$\cos^5x-\sin^5x <7(\sin^3x-\cos^3x)$

$\cos^5x-\sin^5x <7(\sin^3x-\cos^3x)$，$x\in[0,2\pi)$。

两边都因式分解一下，有
\begin{align*}
\cos^5x-\sin^5x &=\frac{1}{8}(\cos x-\sin x)(\cos4x+4\sin2x+7),\\
\sin^3x-\cos^3x &=\frac{1}{2}(\sin x-\cos x)(\sin2x+2),
\end{align*}
于是不等式等价于
\[(\sin x-\cos x)(\cos4x+32\sin2x+63)>0,\]
显然恒有 $\cos4x+32\sin2x+63>0$，所以不等式等价于
\[\sin x>\cos x,\]
解得
\[\frac{\pi}{4}<x<\frac{5\pi}{4}.\]

本主题由 kuing 于 2013-1-19 16:21 分类

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

管理员

UID: 1
帖子: 3992

2^#

发表于 2011-10-16 17:01

这个7也太大了吧，以致于剩下那项竟然是显然非负的，不会是抄错题吧？弄小一点，最好弄成负的，另一项还可以分解一下好点，现在这样太废了……

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

GAM

注册会员

UID: 29
帖子: 29

3^#

发表于 2011-10-16 22:13

话说我直接移项就是函数了，之后就有sin>cos...

管理员

UID: 1
帖子: 3992

4^#

发表于 2011-10-16 22:38

3# GAM

是的，我习惯性因式分解了，呵呵。所以还是那个7太大了，得是负的才有玩头

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

中级会员

UID: 10
帖子: 69

5^#

发表于 2011-10-22 22:05

因式分解化了一下
其实蛮简单的