[几何] 来自人教群的两个圆的平几

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2013-1-12 20:52

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2013-1-12 20:54

（1）由 $\angle ACB=\angle AEB$，$\angle AFB=\angle ADB$ 得 $\triangle ACF\sim \triangle AED$，从而易得 $\angle CAE=\angle DAF$，所以 $CD$ 的中垂线正是 $\angle EAF$ 的角平分线。

设 $\angle EAF$ 的角平分线与 $\triangle AEF$ 的外接圆交于 $P'$，则由 $\angle EAP'=\angle FAP'$ 得 $P'E=P'F$，即 $P'$ 在 $EF$ 的中垂线上，因此 $P'$ 为 $CD$ 的中垂线与 $EF$ 的中垂线的共公点，所以这两条中垂线或相交或重合。如果重合，即中垂线与角平分线重合，则 $AE=AF$，从而可得 $\triangle ACF$ 和 $\triangle AED$ 为全等的等腰三角形，于是可得两圆半径相等，与条件矛盾，所以两条中垂线必然是相交。

（2）由（1）的证明过程知 $P$ 就是 $P'$，即 $P$ 在 $\triangle AEF$ 的外接圆上。由 $\triangle ACF\sim \triangle AED$ 得
\[CA^2=AC\cdot AD=AE\cdot AF,\]
所以要证原命题只需证明
\[AP^2=AE\cdot AF+EP^2,\]
由托勒密定理，有
\[AP\cdot EF=EP\cdot AF+FP\cdot AE=EP\cdot (AE+AF),\]
于是
\begin{align*}
AP^2-AE\cdot AF-EP^2&=\frac{EP^2\cdot (AE+AF)^2}{EF^2}-AE\cdot AF-EP^2 \\
& =AE\cdot AF\cdot \left( \frac{2EP^2}{EF^2}-1 \right)+EP^2\cdot \left( \frac{AE^2+AF^2}{EF^2}-1 \right) \\
& =AE\cdot AF\cdot \frac{EP^2+FP^2-EF^2}{EF^2}+EP^2\cdot \frac{AE^2+AF^2-EF^2}{EF^2} \\
& =AE\cdot AF\cdot \frac{2EP\cdot FP\cdot \cos \angle EPF}{EF^2}+EP^2\cdot \frac{2AE\cdot AF\cdot \cos \angle EAF}{EF^2} \\
& =AE\cdot AF\cdot \frac{2EP^2\cdot \cos \angle EPF}{EF^2}-EP^2\cdot \frac{2AE\cdot AF\cdot \cos \angle EPF}{EF^2} \\
& =0,
\end{align*}
得证。

感觉我这证得有点麻烦，不知有没有更简单的证法。

PS、那个“今日竞赛之几何”是何意？

2# kuing


2013CmO第一天题。

3# 力工

噢？原来是CMO是这个时间……呵呵，那有官方答案没？