[几何] 立几题,涉及旋转,

一个棱长均为a的正四面体模型,它的顶点O在桌面内,且该模型绕O点转动，记模型上最高点到桌面的距离为h,则h的取值范围是.
也是不等式群看到的,
由图象猜测是$[\frac{\sqrt{2}a}{2},a]$(南京支激扬(532###902)),左边是其中一个面平行桌面或就在桌面上,右边就是棱长.
有没有更严密的一般性办法,以及能否推广到其它多面体上?
试着向量,但考虑不够成熟,如下:
最高距离就在其余三顶点某一点取到(需要说明吗?但我不知道怎么说明.),
设O出发的三向量记为$\vv{a},\vv{b},\vv{c}$,不妨先设$a=1$,那么$\abs{\vv{a}}=\abs{\vv{b}}=\abs{\vv{c}}=\abs{\vv{a}-\vv{b}}=\abs{\vv{a}-\vv{c}}=\abs{\vv{c}-\vv{b}}=1$
桌面的单位法向量为$\vv{n}=x\vv{a}+y\vv{b}+z\vv{c}$,由$\abs{\vv{n}}=1$,得到$x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz=1$.
那么$\vv{a},\vv{b},\vv{c}$在$\vv{n}$上的射影绝对值依次为$\abs{x+0.5y+0.5z}$,$\abs{y+0.5x+0.5z}$,$\abs{z+0.5y+0.5x}$(kuing).由桌面上模型可得,这些绝对值可以直接去掉,因为都非负.
本题就是$f(x,y,z)=max\{x+0.5y+0.5z,y+0.5x+0.5z,z+0.5y+0.5x\}$,求$f(x,y,z)$的取值范围.


推广问题1:一个棱长均为a的正方体,它的一个顶点O在桌面内,且该模型绕O点转动，记模型上最高点到桌面的距离为h,则h的取值范围是.
同样,最高距离就在其余7顶点某一点取到.
设设O出发的三向量记为$\vv{a},\vv{b},\vv{c}$,不妨先设$a=1$,那么$\abs{\vv{a}}=\abs{\vv{b}}=\abs{\vv{c}}=1$,
$\vv{a}\cdot\vv{b}=\vv{a}\cdot\vv{c}=\vv{c}\cdot\vv{b}=0$
2.可能还是这样更一般,就任意一个四面体(不知道可不可以计算)或一个长方体.

转发下,1楼支老师的想法

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2013-1-11 12:53

接1#：
令 $p=x+0.5y+0.5z$, $q=0.5x+y+0.5z$, $r=0.5x+0.5y+z$，则 $p$, $q$, $r\geqslant0$ 且 $3(p^2+q^2+r^2)-2(pq+qr+rp)=2$。
由对称性不妨设 $p\geqslant q\geqslant r\geqslant 0$，则问题等价于求
\[\frac{\sqrt2p}{\sqrt{3(p^2+q^2+r^2)-2(pq+qr+rp)}}\]
的取值范围。由齐次性令 $p+q+r=1$，则 $p\in[1/3,1]$，且
\[\frac{\sqrt2p}{\sqrt{3(p^2+q^2+r^2)-2(pq+qr+rp)}}=\frac{\sqrt2p}{\sqrt{3-8p(1-p)-8qr}},\]
而
\[
\max\{0,p(1-2p)\}\leqslant qr\leqslant\frac{(1-p)^2}4,
\]
所以只需要分别求出以下两个函数在 $[1/3,1]$ 上的值域即可
\begin{align*}
g(p)&=\frac{\sqrt2p}{\sqrt{3-8p(1-p)-8\max\{0,p(1-2p)\}}},\\
h(p)&=\frac{\sqrt2p}{\sqrt{3-8p(1-p)-2(1-p)^2}},
\end{align*}
不难求出为 $\bigl[\sqrt{1/2},\sqrt{3/4}\bigr]$ 和 $\bigl[\sqrt{2/3},1\bigr]$，因此所求的取值范围就是 $\bigl[\sqrt{1/2},1\bigr]$。

其实正方体的情形应该更简单，如果允许穿过桌面的话可能才有点玩头。
这也让我想起之前遇到过的一个问题，就是一个平面过正方体某个顶点，另外七个顶点到该平面的距离分别为1,2,3,4,5,6,7，求正方体棱长，结果发现不止一种情况。

你也说起过的换元,终于搞定.但愿不要再出错了,改成脱开图形的办法应该可以,但不想费那个脑筋了.
设$x+y=p,y+z=q,z+x=r$,那么已知条件即为$p^2+q^2+r^2=2,p+q\ge0,p+r\ge0,q+r\ge0$,
求$f(x,y,z)=max\{\frac{p+q}{2},\frac{p+r}{2},\frac{r+q}{2}\}$的取值范围.
容易得$2=p^2+q^2+r^2\ge{p^2+q^2}\ge{2(\frac{p+q}{2})^2}$,即$\frac{p+q}{2}\le 1$.所以$f(x,y,z)_{max}=1$.
又不妨设$r$最大,那么$f(x.y,z)=max\{\frac{p+r}{2},\frac{r+q}{2}\}$,

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2013-1-12 15:22

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2013-1-12 15:22

固定$r$,条件为$p^2+q^2=2-r^2,p+q\ge0$如图所示所以在$p=q$或$p=-q\ge0$或$q=-p\ge0$时即D或E或F三点,$f(x,y,z)$才取到最小值.
不妨设$p\ge0$也即问题为:已知:$2p^2+r^2=2,0\le{p}\le{r}$,求$f(x,y,z)=\frac{p+r}{2}$的最小值,如图,容易得$p=0,r=\sqrt{2}$取到,完.

还是整个换了方便……

要不先补成正方体,估计就是换元后的办法.可惜一般四面体没对应长方体,只是个平行六面体.
设四面体从O出发的三棱所在向量依次为$\vv{a},\vv{b},\vv{c}$,
并已知它们的长度依次为$a,b,c$和夹角$<\vv{a},\vv{b}>=\alpha,<\vv{b},\vv{c}>=\beta,<\vv{c},\vv{a}>=\gamma$.
桌面单位法向量为$\vv{n}=x\vv{a}+y\vv{b}+z\vv{c}$,那么由$\abs{\vv{n}}=1$可得$a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2abxy\cos{\alpha}+2acxz\cos{\gamma}+2bcyz\cos{\beta}=1$
求$f(x,y,z)=max\{ \vv{n}\cdot\vv{a},\vv{n}\cdot\vv{b},\vv{n}\cdot\vv{c}\}$的取值范围.似乎很复杂,不会解了,就晾着吧.