来自粉丝群的一道积分不等式$\int_0^1(f''(x))^2\rmd x\ge4$

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2013-1-11 00:01

题目：设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有二阶连续导数，$f(0)=f(1)=f'(0)=0$，$f'(1)=1$，求证：
\[\int_0^1{(f''(x))^2\rmd x}\geqslant 4,\]
并指出等号成立的条件。

待定一个 $g(x)$，由柯西不等式，有
\begin{align*}
\int_0^1{(f''(x))^2\rmd x}\int_0^1{g(x)^2\rmd x}&\geqslant \left( \int_0^1{f''(x)g(x)\rmd x} \right)^2 \\
& =\left( \int_0^1{g(x)\rmd{(f'(x))}} \right)^2 \\
& =\left( g(x)f'(x)|_0^1-\int_0^1{f'(x)\rmd{(g(x))}} \right)^2 \\
& =\left( g(1)-\int_0^1{f'(x)g'(x)\rmd x} \right)^2 \\
& =\left( g(1)-\int_0^1{g'(x)\rmd{(f(x))}} \right)^2 \\
& =\left( g(1)-g'(x)f(x)|_0^1+\int_0^1{f(x)\rmd{(g'(x))}} \right)^2 \\
& =\left( g(1)+\int_0^1{f(x)g''(x)\rmd x} \right)^2,
\end{align*}
为了把后面的积分弄掉，尝试令 $g(x)=x+k$，代入得到
\[\int_0^1{(f''(x))^2\rmd x}\geqslant \frac{(1+k)^2}{\int_0^1{(x+k)^2\rmd x}}=\frac{3(k+1)^2}{3k^2+3k+1},\]
令
\[\frac{3(k+1)^2}{3k^2+3k+1}=4,\]
解得 $k=-1/3$，所以当 $g(x)=x-1/3$ 时就得到了原不等式。等号成立的条件是 $f''(x)=p(x-1/3)$。

PS、事实上 $3(k+1)^2/(3k^2+3k+1)$ 的最大值就是 $4$。

这个尝试真大胆..

2# q85669551

不是大胆，而是除了这样我已经没别的办法进行下去了……

3# kuing


Cauchy-Schwarz是明智的。

4# pxchg1200
CS在积分不等式中用着也那么爽

5# kuing


是啊，很多好玩的东东呢。