一个老链接的三角代换解法及初中解法

话说刚才群里提到了一道方程组的题：

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2013-1-9 16:56

我翻到了5年多以前的老链接：
http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=321820
均值解法在贴中已经有了，这里我顺便把三角解法发上来，其实是大概一年多前写的，不过没发到论坛上。
令 $x=\frac12\tan a$, $y=\frac12\tan b$, $z=\frac12\tan c$，其中 $a$, $b$, $c\in(-\pi/2,\pi/2)$，则方程组化为
\[\left\{\begin{aligned}
\frac12\tan b&=\sin^2a,\\
\frac12\tan c&=\sin^2b,\\
\frac12\tan a&=\sin^2c,
\end{aligned}\right.\]
三式相乘并去分母得
\[\sin a\sin b\sin c=8\sin^2a\sin^2b\sin^2c\cos a\cos b\cos c,\]
或
\[\sin a\sin b\sin c=\sin a\sin b\sin c\sin2a\sin2b\sin2c,\]
于是有
\[\sin a\sin b\sin c=0~\text{或}~\sin2a\sin2b\sin2c=1.\]
由前者显然解得 $a=b=c=0$，即 $x=y=z=0$ 为原方程组的一组解；
由后者得 $\sin2a$, $\sin2b$, $\sin2c$ 都为 $1$ 或一个为 $1$ 另外两个为 $-1$，若 $\sin2a=-1$ 则 $\tan a=-1<0$，又由原方程组显然 $x$, $y$, $z$ 为非负，所以 $\sin2a=-1$ 不满足方程组，另外两个也一样，因此此时只能 $\sin2a$, $\sin2b$, $\sin2c$ 都为 $1$，即得 $x=y=z=1/2$ 为原方程组的另一组解。

改均值解法改写一下，便得所谓初中解法：
当 $xyz\ne0$ 时，将三个等式倒数再配方，得
\[\left\{\begin{aligned}
\frac1y&=1+\frac1{4x^2}=\left( 1-\frac1{2x} \right)^2+\frac1x, \\
\frac1x&=1+\frac1{4z^2}=\left( 1-\frac1{2z} \right)^2+\frac1z, \\
\frac1z&=1+\frac1{4y^2}=\left( 1-\frac1{2y} \right)^2+\frac1y,
\end{aligned}\right.\]
相加得
\[\left( 1-\frac1{2x} \right)^2+\left( 1-\frac1{2y} \right)^2+\left( 1-\frac1{2z} \right)^2=0.\]

如果考虑复数范围的话，那除了最原始的代入消元法之外我就没什么法子了，消去 $y$, $z$ 化简最终可得
\[x (2 x-1)^2 (5696 x^6+1600 x^5+496 x^4+96 x^3+28 x^2+4 x+1)=0,\]
6个复数解