[不等式] 来自某教师群的一道不等式

广州朱sir(1054******) 08:19:09
求助高手：

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2013-1-9 14:05

广州朱sir(1054******) 09:06:55
不知道出自哪里，学生问的

其实条件可以弱化，只要 $p>1$ 且 $k>1$ 即可。

这显然是以拉格朗日中值定理为背景的，而且可以给出另一边。
具体地，令 $f(x)=x^{-p+1}$, $x>0$，则 $f'(x)=(-p+1)x^{-p}$，由拉格朗日中值定理得
\[
\frac{f(k)-f(k-1)}{k-(k-1)}=f'(\xi ),
\]
其中 $\xi \in (k-1,k)$，再由 $f''(x)=p(p-1)x^{-p-1}>0$ 得
\[
f'(k-1)<f'(\xi )<f'(k),
\]
所以
\[
f'(k-1)<f(k)-f(k-1)<f'(k),
\]
即
\[
(-p+1)(k-1)^{-p}<k^{-p+1}-(k-1)^{-p+1}<(-p+1)k^{-p},
\]
也即
\[
\frac{p-1}{(k-1)^p}>\frac1{(k-1)^{p-1}}-\frac1{k^{p-1}}>\frac{p-1}{k^p}.
\]

顺便指出，该群里还提及到将原不等式变形为
\begin{align*}
\frac{p-1}{k^p}<\frac1{(k-1)^{p-1}}-\frac1{k^{p-1}}&\iff\frac{p-1+k}{k^p}<\frac1{(k-1)^{p-1}} \\
& \iff (k-1)^{p-1}(p+k-1)<k^p \\
& \iff p(k-1)^{p-1}<k^p-(k-1)^p,
\end{align*}
然后对右边因式分解再放缩。事实上，由于 $p$ 不一定是整数，所以并不能直接分解。
其实变到这里也可以用拉格朗日，还更容易看些。

那么，有没有中学生能理解的方法？当然有
\[
\frac{p-1}{k^p}<\frac1{(k-1)^{p-1}}-\frac1{k^{p-1}}\iff\frac{p-1}k<\left( \frac k{k-1} \right)^{p-1}-1,
\]
令 $k=1/t$，由 $k>1$ 得 $t\in(0,1)$，于是上式等价于
\[
g(t)=\frac1{(1-t)^{p-1}}-1-(p-1)t>0,
\]
求导得
\[
g'(t)=(p-1)\left( \frac1{(1-t)^p}-1 \right)>0,
\]
从而 $g(t)>g(0)=0$，得证。

用同样的方法可以把另一边也证了。
\[
\frac{p-1}{(k-1)^p}>\frac1{(k-1)^{p-1}}-\frac1{k^{p-1}}\iff\frac{p-1}{k-1}>1-\left( \frac{k-1}k \right)^{p-1},
\]
令 $1/(k-1)=u$，由 $k>1$ 得 $u\in(0,+\infty)$，则上式等价于
\[
h(u)=(p-1)u-1+\frac1{(1-u)^{p-1}}>0,
\]
求导得
\[
h'(u)=(p-1)\left( 1+\frac1{(1-u)^p} \right)>0,
\]
所以 $h(u)>h(0)=0$。