[数列] 2011联赛A卷一试10数列求通项
\[a_1=2t-3,t\in\mathbb{R},t\ne\pm1,a_{n+1}=\frac{(2t^{n+1}-3)a_{n}+2(t-1)t^{n}-1}{a_{n}+2t^{n}-1}.\]
两边加 $2t^{n+1}-1$ 整理为
\[a_{n+1}+2t^{n+1}-1=\frac{4(t^{n+1}-1)(a_{n}+t^{n})}{a_{n}+2t^{n}-1},\]
令 $b_{n}=a_{n}+t^{n}$，化为
\[b_{n+1}+t^{n+1}-1=\frac{4(t^{n+1}-1)b_{n}}{b_{n}+t^{n}-1}\iff\frac{b_{n+1}}{t^{n+1}-1}+1=\frac{4}{1+\frac{t^{n}-1}{b_{n}}},\]
令 $c_{n}=\dfrac{b_{n}}{t^{n}-1}$，化为
\[c_{n+1}+1=\frac{4}{1+\frac{1}{c_{n}}}\iff c_{n+1}=\frac{3c_{n}-1}{c_{n}+1}\iff c_{n+1}-1=\frac{2(c_{n}-1)}{c_{n}+1}\iff\frac{1}{c_{n+1}-1}=\frac{1}{c_{n}-1}+\frac{1}{2},\]
由 $a_1=2t-3$ 得 $c_1=3$，从而易得
\[c_n=\frac{n+2}{n},\]
回代，即得
\[a_{n}=b_{n}-t^{n}=c_{n}(t^{n}-1)-t^{n}=\frac{n+2}{n}(t^{n}-1)-t^{n}=\frac{2t^{n}-n-2}{n}.\]
第二问是 $t>0$ 时比较 $a_{n+1}$ 与 $a_n$，这简单，由均值就行了。故此这个题其实难在第一问……
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本主题由 kuing 于 2013-1-19 15:23 分类
发表于 2011-10-16 16:03
发表于 2013-1-5 13:27
