[不等式] 回复352的问题

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2013-1-6 14:29

我直接目测是测不出来的，不过要是能换元搞搞还是比较容易推出来的。
令 $x/(x-1)=a$, $y/(y-1)=b$, $z/(z-1)=c$，解得 $x=a/(a-1)$, $y=b/(b-1)$, $z=c/(c-1)$，故
\[xyz=1\iff abc=(a-1)(b-1)(c-1)\iff 0=-ab-bc-ca+a+b+c-1,\]
所以
\begin{align*}
\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}-1&=a^2+b^2+c^2-1\\
&=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)-1\\
&=(a+b+c)^2-2(a+b+c-1)-1\\
&=(a+b+c-1)^2,
\end{align*}
这样代回去就得到了那个神奇的配方。

好想法！ 转化不等式的形式真的有点不好想啊。

碰巧看Q空间又见一个类似的

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2013-1-6 15:09

\[\left( \frac{a}{b-c} \right)^2+\left( \frac{b}{c-a} \right)^2+\left( \frac{c}{a-b} \right)^2-2=\left( \frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b} \right)^2\]

这个曾经也研究过，只要注意到有恒等式
\[\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1,\]
看到分母这个样子，有没有想起拉格朗日cha值公式？
没错，当年我就利用拉格朗日cha值公式导出了一系列恒等式，上式就是其中之一，见
http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=583379