[不等式] 三角不等式

$已知a,b,c为正数，ab+bc+ca=1,证明
9a^2b^2c^2-4(a+b+c)abc+1\ge0. $

PS：其实嘛，这个不等式只是我证明下面这个不等式：
$在锐角△ABC中，$ $$\color{red}{\sum \frac{\cos B\cos C}{\cos A}\ge 2\sum \cos^2A}$$
最终用代数方法转化得到的. 仅就这个不等式，能提供其它方法证明吗？
PS：类似地，在$△ABC中，$
$$\color{red}{\sum\frac{\sin B\sin C}{\sin A}\ge \frac{2\sqrt3}{3}\sum{\sin^2A}}$$

因式分解可能没什么办法，也没必要吧，齐次化再配方或者Schur分拆可能有得玩玩。

2# kuing
其中$a,b,c>0,就是准备证明上式大于等于0. $不知道咋办

1# reny

令$x=b+c>0,y=bc>0，则x^2\ge 4y，由ab+bc+ca=1有a=\frac{1-y}{x}$
\begin{align}
9a^2b^2c^2-4(a+b+c)abc+1&=(9b^2c^2-4bc)a^2-4bc(b+c)a+1\notag\\
&=(9y^2-4y)(\frac{1-y}{x})^2-4xy(\frac{1-y}{x})+1\notag\\
&=\frac{(y-1)^2(9y^2-4y)}{x^2}+(2y-1)^2
\end{align}
$当y\ge\frac49时，(1)式显然大于0；$
$当0<y<\frac49时,(1)式\ge\frac14(y-1)^2(9y-4)+(2y-1)^2=\frac14y(3y-1)^2\ge0$
综上,不等式成立，当且仅当$a=b=c=\frac{1}{\sqrt3}时取到等号.$

4# reny

不错，如果计算没错的话。

PS：其实嘛，这个不等式只是我证明下面这个不等式：
$在锐角△ABC中，$ $$\color{red}{\sum \frac{cosBcosC}{cosA}\ge 2\sum cos^2A}$$
最终用代数方法转化得到的. 仅就这个不等式，能提供其它方法证明吗？

reny 发表于 2013-1-5 20:19

噢，这个之前在安振平的QQ空间里看到过，也写过简证，见
http://user.qzone.qq.com/363215694/blog/1316295244
不过可能不是Q好友进不去，我还是把我写的截上来

顺便指出，若 $\triangle ABC$ 为钝角三角形，那么必有 $\cos A\cos B\cos C<0$，所以此时两边除以 $\cos A\cos B\cos C$ 后
不等式应反向，也即当 $\triangle ABC$ 为钝角三角形时原不等式反向成立。

6# kuing
这方法太漂亮了！ 原来如此啊！  我做复杂了啊！！！

6# kuing
我想到一个类似的不等式：
在$△ABC中，$
$$\sum\frac{sinB sinC}{sinA}\ge \frac{2\sqrt3}{3}\sum{sin^2A}$$
我用类似的代数方法证明这个不等式，显得挺简单，而证明前面那个过程挺复杂的。
这个不等式证明有没有其他个方法？

类似地，在$△ABC中，$
$$\color{red}{\sum\frac{sinB sinC}{sinA}\ge \frac{2\sqrt3}{3}\sum{sin^2A}}$$
reny 发表于 2013-1-22 19:18

PS、sinA 应写成 \sin A ，前面的 cos 也一样。

这个我刚才也想尝试用嵌入，可惜没成功。然后想用外森比克，也反了向，后来用更强的F-H不等式就搞定了。

由面积公式有
\begin{align*}
\sum\frac{\sin B\sin C}{\sin A}\geqslant \frac{2\sqrt3}3\sum\sin ^2A&\iff2S\sum\frac1{a^2}\geqslant \frac{8\sqrt3S^2}3\sum\frac1{b^2c^2} \\
& \iff\frac{\sum b^2c^2}{\sum a^2}\geqslant \frac{4\sqrt3S}3,
\end{align*}
据根 Finsler-Hadwiger 不等式
\[\sum a^2\geqslant 4\sqrt3S+\sum(a-b)^2,\]
可知只要证
\[
\frac{\sum b^2c^2}{\sum a^2}\geqslant \frac{\sum a^2-\sum (a-b)^2}3,
\]
而
\begin{align*}
3\sum b^2c^2-\sum a^2\left( \sum a^2-\sum (a-b)^2 \right)&=\sum b^2c^2-\sum a^4+\sum a^2\sum (a-b)^2 \\
& =-\frac12\sum (a^2-b^2)^2+\sum a^2\sum (a-b)^2 \\
& =\frac12\sum \left( 2\sum{a^2}-(a+b)^2 \right)(a-b)^2 \\
& =\frac12\sum (2c^2+(a-b)^2)(a-b)^2\\
&\geqslant 0,
\end{align*}
从而原不等式得证。

10# kuing
这个题我类比过来后，还是用换元，转化为代数形式，感觉挺容易的（用到陶平生曾经写的一个三角结构的系统）。
我就是挺纳闷，相同方法做前面那个（关于余弦）的不等式，就蛮复杂，结果一下就被你秒了。

我也只会想到这个代数方法了，你说的F-H不等式又是第一次看到，厉害。

嗯，你说你是在几何不等式转化出来的时候我看1#那条件就猜到你用切系统了

PS、连乘符号你好像打反了

其实F-H不等式只是等价于 $xy+yz+zx\geqslant\sqrt{3xyz(x+y+z)}$，不是用切系统，是用内切圆系统。

14# kuing
切系统在三角不等式证明中有时挺管用滴。
这么多陌生的不等式，很少用，所以也就记不得啦，向你学习吧！