[几何] 来自人教群的椭圆焦点三角形内角平分线长

教师-其妙(2360****) 14:21:18
问题：椭圆的短半轴长 $b$，$F_1$、$F_2$ 为其焦点，$A$ 是椭圆上一点。求证：$\triangle AF_1F_2$ 的过 $A$ 的内角平分线长 $L\leqslant b$

其实利用内角平分线长公式（$w_a=\frac{\sqrt{bc(b+c+a)(b+c-a)}}{b+c}$），可以发现其表达式极其简单
\begin{align*}
L & =\frac{\sqrt{AF_1\cdot AF_2\cdot \bigl((AF_1+AF_2)^2-F_1F_2^2\bigr)}}{AF_1+AF_2} \\
& =\frac{\sqrt{AF_1\cdot AF_2\cdot \bigl((2a)^2-(2c)^2\bigr)}}{2a} \\
& =\frac ba\cdot\sqrt{AF_1\cdot AF_2},
\end{align*}
下略。

本主题由 kuing 于 2013-1-19 15:02 分类

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
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