[几何] 来自人教群的一道解几小题

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2013-1-3 15:26

如果没看错的话，题目是：

以 $P(x_0,y_0)$ 为圆心，以 $\displaystyle r=\frac35x_0+3$ 为半径，$P(x_0,y_0)$ 在椭圆 $\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 上，则圆 $P$ 所覆盖面积为？

关键其实就在于观察到那个 $r$。

记左右焦点分别为 $F_1(-3,0)$, $F_2(3,0)$，则由焦半径公式，有
\begin{align*}
\abs{PF_1}&=a+ex_0=5+\frac35x_0,\\
\abs{PF_2}&=a-ex_0=5-\frac35x_0,
\end{align*}
从而有
\begin{align*}
\abs{PF_1}-r&=5+\frac35x_0-3-\frac35x_0=2,\\
\abs{PF_2}+r&=5-\frac35x_0+3+\frac35x_0=8,
\end{align*}
这也就是说，圆 $P$ 与以左焦点为圆心，半径为 $2$ 的圆外切，与以右焦点为圆心，半径为 $8$ 的圆内切，所以所面积就是 $8^2\pi-2^2\pi=60\pi$。

这道题还是蛮不错的，就是在题目的表达上不够清晰，不过这或者这只是抄题下来的人省略了点东西。

配图

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2013-1-3 15:49

PS、那两个圆和椭圆都切于左顶点只是因为数据特殊，如果将 $r$ 改一下就不一定相切了。