[不等式] 请教两个Tran Quoc Anh 的题

probelm 1:
Let $ a,b,c \geq 0 $ prove that:
\begin{align}
(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\geq \frac{64}{3}abc(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)
\end{align}

Problem 2:
With the same condition as problem 1,prove that:
\begin{align}
(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)\geq 3 \sqrt{3abc(a^{3}+b^{3}+c^{3})}
\end{align}

PS:谢绝 UVW 和 PQR, ABC method..

怎么没人做啊？ kuing呢？

2# pxchg1200

最近在谷底……

昨天把第一题做出来了，AM-GM还要讨论。。 （有时间再贴答案）

我也做了下第一题，用老招。

Let $ a,b,c \geqslant 0 $, prove that:
\[(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2\geqslant \frac{64}3abc(a^2b+b^2c+c^2a).\]

由轮换对称性，不妨设 $b$ 在 $a,c$ 之间，即 $(b-a)(b-c)\leqslant0$，由此可得
\[a^2b+b^2c+c^2a\leqslant b(a^2+c^2+ac),\]
于是由均值得
\[a^2b+b^2c+c^2a \leqslant \frac{b\bigl(b(c+a)+ca\bigr)\bigl((c+a)^2-ca\bigr)}{ab+bc+ca}\leqslant \frac{b(c+a)^2(a+b+c)^2}{4(ab+bc+ca)},\]
于是只要证
\[\frac{16ab^2c(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}\leqslant (a+b)^2(b+c)^2,\]
又由
\[ab+bc+ca\geqslant ab+bc+ca+\frac12(b-a)(b-c)=\frac{b(a+b+c)+3ca}2,\]
故只要证
\[\frac{32ab^2c(a+b+c)^2}{3b(a+b+c)+9ca}\leqslant (a+b)^2(b+c)^2,\]
或
\[\frac{32ca\bigl(b(a+b+c)\bigr)^2}{3b(a+b+c)+9ca}\leqslant \bigl(b(a+b+c)+ca\bigr)^2,\]
令 $p=ca$, $q=b(a+b+c)$，上式为
\[\frac{32pq^2}{9p+3q}\leqslant(p+q)^2\iff \frac{(p+3q)(3p-q)^2}{9p+3q}\geqslant0, \]
显然成立，故原不等式得证。

kuing 终于犀利了！ 下面是我的证明:
Case1 :\[ 3\sum{ab^{2}}\geq \sum{a^{2}b}+6abc \]
By AM-GM gives:
\[ \frac{64}{9}(3abc)(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\leq \frac{16}{9}(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3abc)^{2} \]
Thus it suffice to check that:
\[ 3(a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3abc) \]
\[ 3\sum{ab^{2}}\geq \sum{a^{2}b}+6abc \]
Case 2:
\[ 3\sum{ab^{2}}\leq \sum{a^{2}b}+6abc \]
use the well-know inequality: \[ (x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+xz) \]
Let $x= ab^{2}, y=bc^{2}, z=ca^{2} $
Therefore: \[ \frac{64}{3}(a^{3}b^{2}c+b^{3}c^{2}a+c^{3}a^{2}b)\leq \frac{64}{9}(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})^{2} \]
Then,it suffices to prove that:
\[ 8(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\leq 3(a+b)(b+c)(c+a) \]
or \[ 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+6abc\geq 5(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}) \]
but \[ 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+6abc\geq 3(3(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})-6abc) +6abc\geq 5(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}) \]
Which reduce to \[ ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geq 3abc \]
Which is obvious by AM-GM
Done!

6# pxchg1200

倒数第二个式子中间漏了 +6abc ，其余的如果你展开没错的话暂时没看出什么问题嗯。

7# kuing


Thanks. I have fixed it
不过你那个AM-GM的方法我还真没见过啊，怎么想到配那个 $ ab+bc+ca$啊？

8# pxchg1200

都说是老招，是我想起当年证http://www.artofproblemsolving.com/blog/38749的时候的东西，然后才想到这样弄的。

9# kuing


果然犀利！　 　学习了。。。