[不等式] 昨晚人教群的不等式没时间写

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2013-1-3 14:27

若 $k>1/2$，则不等式成立，并且等号取不了。
\[k^a\leqslant \frac1{a+1}\left( \left( k+\frac12 \right)^{a+1}-\left( k-\frac12 \right)^{a+1} \right)\iff\frac1k\leqslant \frac1{a+1}\left( \left( 1+\frac1{2k} \right)^{a+1}-\left( 1-\frac1{2k} \right)^{a+1} \right),\]
令 $1/(2k)=t$，则由 $k>1/2$ 知 $t\in(0,1)$，则不等式等价于
\[\frac1{a+1}\bigl((1+t)^{a+1}-(1-t)^{a+1}\bigr)\geqslant 2t,\]
于是令
\begin{align*}
f(t)&=\frac1{a+1}\bigl((1+t)^{a+1}-(1-t)^{a+1}\bigr)-2t, \\
f'(t)&=(1+t)^a+(1-t)^a-2, \\
f''(t)&=a\bigl((1+t)^{a-1}-(1-t)^{a-1}\bigr),
\end{align*}
可见 $f(0)=f'(0)=0$ 且由 $a<0$ 可得 $f''(t)>0$，所以对任意 $t\in(0,1)$ 都有 $f(t)>0$，得证。


而对于某些特别的 $a$，则 $k$ 就可以取比 $1/2$ 更小的值，这时不等式不成立。
比如说当 $a=-2$ 时，原不等式为
\[\frac1{k^2}\leqslant \frac1{k-\frac12}-\frac1{k+\frac12},\]
上式对 $k\in(-1/2,1/2)$ 反向成立。