来自某教师群的一道求系数题

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2013-1-2 23:30

题目：已知 $n\in\mbb N^+$，若对任意实数 $x$，都有 $x^n=a_0+a_1(x-n)+a_2(x-n)^2+\cdots+a_n(x-n)^n$，则 $a_{n-1}$ 的值为（选项略）

广州kuing  23:13:08
显然 $a_n=1$，于是 $a_{n-1}$ 为 $(x-n)^n$ 展开后的 $x^{n-1}$ 的系数的相反数，即 $n^2$。

广州kuing  23:20:15
或者两边对 $x$ 求 $n-1$ 阶导数，可得 $n!x=(n-1)!a_{n-1}+n!a_n(x-n)$，再令 $x=n$，即得 $a_{n-1}=n^2$。

求导，很赞的思路。

若从学生角度出发，将$x^n=(x-n+n)^n$按$C_n^r(x-n)^{n-r}n^{r}$展开，相对好理解一点

2# isea

right

应该说你的方法更好，一下全出来了

不敢当不敢当，实质就是思路一，再详细说了一下。

楼上看问题眼光又“准”确又“独”到
真的受益